<<
>>

4.3 Оценка моментов корреляционной функции

Корреляционная функция всесторонне характеризует корреляционные свойства анализируемого процесса. Однако во многих случаях достаточно ограничиться частичными сведениями о корреляционных свойствах сигнала.
Неполными, он достаточно информативными корреляционными характеристиками, являются моменты корреляционной функции. В принципе можно ставить задачу и построения модели корреляционной функции по этим характеристикам.

Моментом корреляционной функции порядка К называется величина

ад

v, = \гkRx П. (4.30)

0

Применяются также и нормированные моменты

ад

vH.k =jV Р2 Иг. (4.31)

Отличие последней характеристики от предыдущей состоит лишь в том, что она определяется через нормированную корреляционную функцию. При этом, так как Rx(г) = а2хрх(г), то v, = olvH_k.

Как видно из формулы (4.30), определение величины vk требует знания корреляционной функции анализируемого процесса. В то же время эти характеристики применяются именно для того, чтобы описать процесс без знания корреляционной функции. Отсюда возникает необходимость поиска, с целью повышения оперативности анализа, таких способов оценки моментных характеристик корреляционных функций, которые не требовали бы предварительной оценки корреляционной функции.

Способы оценки моментов корреляционной функции основаны на соотношении (4.30). Так, если в выражение (4.30) корреляционную функцию

Л

Rx (г) заменить на ее оценку Rx (г), получим

ад

(4.32)

V = JVRX (r)Jr.

0

Используя соотношение (4.32), можно получить несколько способов оценки момента vk. Среди них наиболее эффективным является следующий: пусть в качестве оценки корреляционной функции используется модель, представляющая собой ряд по системе ортогональных функций вида (4.12)

N

R (т) = RM (т) = (т).

k=0

Подставляя это значение оценки в выражение (4.32), будем иметь

N ад N

V =1;^\Tk^m (TdT = Z PmAm , (4.33)

ад

где Am =^Tk^m (j)dT - величина, зависящая от выбора системы

0

ортогональных функций.

Оценка величины V по соотношению (4.33) требует знания параметров модели корреляционной функции 0, 1,... , N .

Однако, если в уравнение (4.33) подставить Д., полученное из формулы (4.18) заменой оператора M[.] на оператор усреднения M?[.], то оценка величины V будет равна

ад

o . N A o

Vk = M[X(f)\(Zy^V(T)X(t-T)dT}]. (4.34)

0 m=0

Соотношение (4.34) дает алгоритм построения аппаратуры для оценки величины момента корреляционной функции vk. Блок - схема такой аппаратуры приведена на рисунке 37. Эта схема включает в себя фильтр, состоящий из N+1 элементарных фильтров с импульсными характеристиками V0(T), V(T),..., VN (T), N+1 масштабирующего преобразователя, сумматора, множительное устройство (МУ) и блок усреднения (БУ).

Заметим, что эта аппаратура предназначена для оценки моментной характеристики корреляционной функции любого порядка. При изменении порядка необходимо изменить лишь масштабирующие коэффициенты. Эта же аппаратура может быть применена и для одновременной оценки различных моментов корреляционной функции. При этом добавятся лишь сумматоры с масштабирующими преобразователями, множительные устройства и блоки усреднения.

Способ оценки момента корреляционной функции по соотношению (4.34) существенно проще способа этой оценки по соотношению (4.33), который требовал бы применения в (N+1) раз больше множительных устройств и блоков усреднения. Техническая реализация способа (4.30) существенно упрощается, если ортогональные функции удовлетворяют условию (4.19).

Рисунок 38 - Блок - схема аппаратуры для оценки величины момента корреляционной функции

¦> Л

Vk

Рисунок 38 - Блок - схема аппаратуры для оценки величины момента корреляционной функции

Погрешность оценки момента Vk корреляционной функции

рассматриваемым способом в основном будет определяться выбранной системой ортогональных функций.

Так, например, если в качестве ортогональных функций выбраны функции Лагерра (4.20), то при прочих равных условиях свойства оценки будут зависеть от величины N и значения параметра а функции Лагерра.

Для уменьшения погрешности от смещенности необходимо выбрать оптимальное значение а, о котором говорилось ранее, и увеличивать число членов модели N. При выбранной же величине а для уменьшения статистической методической погрешности нужно число членов модели уменьшать. Это говорит о том, что необходимо выбирать оптимальное число членов модели.

Чтобы правильно определить метрологические характеристики оценки, рекомендуется установить погрешность от смещенности оценки момента нулевого порядка рассматриваемым способом корреляционной функции Rx (т) = exp-а т, если используются ортогональные функции Лагерра и значение их параметра а находится из уравнения P0 =1 .

Другой способ оценки момента корреляционной функции порядка К может быть получен при условии, если в формуле (4.30) сделать замену

Rx (т) = M [X (t) X (t -г)] и затем от оператора M [.] формально перейти к оператору усреднения M[]. В результате этих преобразований будем иметь

ад

(4.35)

v = M[X0 (t)\тк X(tt - T)dT],

0

Блок - схема соответствующей аппаратуры приведена на рисунке 4.7.

Эта аппаратура состоит из фильтра с импульсной характеристикой h(r), множительного устройства (МУ) и блока усреднения (БУ). Основным ее элементом является фильтр. Заметим, что формально эта блок-схема и блок- схема, приведенная на рисунке 38., идентичны. Отличие лишь в типе применяемого фильтра.

Рисунок 39 - Блок - схема аппаратуры для оценки момента корреляционной функции по соотношению (4.35)

Рисунок 39 - Блок - схема аппаратуры для оценки момента корреляционной функции по соотношению (4.35)

При рассматриваемом способе фильтр на входе должен иметь импульсную характеристику h(x)= тк, которая не является абсолютно

ад

интегрируемой функцией, т.е. Цг^г = ад. Поэтому такой фильтр физически

0

не реализуем и следовательно, бессмысленно ставить задачу его технической реализации.

Отсюда следует вывод, что получение несмещенных оценок моментных характеристик корреляционных функций принципиально невозможно. Позволительно лишь ставить задачу получить искомые оценки со сколь угодно малыми погрешностями от смещенности.

Таким образом, для того чтобы технически реализовать способ (4.35), необходимо, во-первых, в аппаратуре применять фильтр с абсолютно интегрируемой импульсной характеристикой Ь(т), а во-вторых, обеспечить сколь угодно малую погрешность от смещенности.

Эту задачу можно решить различными способами. Для примера рассмотрим следующий: применим в аппаратуре фильтр с импульсной характеристикой

h(r) = ткН (т). (4.36)

Здесь Н(т) - такая функция, которая обеспечивает, во - первых,

ад

условие у|тк d^ < ад и во - вторых, сколь угодно малую погрешность от

0

смещенности оценки.

Проанализируем влияние вида функции Н(т) на погрешность от смещенности. Оценка (4.35) с учетом того, что применен фильтр с импульсной характеристикой (4.36) примет вид

ад

V = M[ X (t) JTkH (т) X (t -T)dT].

0

Абсолютное значение погрешности от смещенности этой оценки будет

равно

ад

Ас = M [V ]-Vk = jT (H(T) - 1}RX (T)dT. (4.37)

0

Из выражения (4.37) видно, что погрешность от смещенности будет меньше, чем функция Н(т) отличается от единицы. Вполне понятно, что обеспечить близость функции Н(т) к единице на всем интервале (0<т<да) невозможно. Но в этом и нет необходимости, так как корреляционная функция анализируемого процесса существенно отличается от нуля лишь на ограниченном интервале времени, соизмеримом с интервалом корреляции анализируемого процесса.

Поэтому надо стремиться к тому, чтобы обеспечить близость функции Н(т) к единице лишь на ограниченном интервале времени, на котором функция корреляции исследуемого процесса существенно отлична от нуля. При этом, так как значения Rx (т) наиболее весом при малых т (т<тк), то

именно при малых т и является целесообразным обеспечивать близость функции Н(т) к единице.

При малых т функция Н(т) может быть представлена в виде ряда Маклорена:

ад

H (т) = Z H(k) (0) V, (4.38)

k=0 k!

где

H(k )(0) =

H (0) = 0

d k H (T)

т > 0

dTk

Из формулы (4.38) следует понимать, что если выполнить условие

H(0) = 1, H(k) = 0 при k = 1,2,...,N, (4.39)

то чем больше величина N, тем при прочих равных условиях функция Н(т) будет меньше отличаться от единицы при малых т.

Итак, функцию Н(т) надо выбирать в соответствии с условием (4.39). Одним из вариантов решения этой задачи является следующий.

Для того, чтобы импульсная переходная характеристика была абсолютно интегрируемой функцией, выберем функцию Н(т) вида

т N

- т

Щт) = expT Т} k

k=0

а коэффициенты р0,J31,...,PN определили из системы уравнений (4.39).

В результате получим рк = — и

k!

N т

H(т) = exp Т ^Pk фk . (4.40)

k=0 Т

Из уравнения (4.40) следует, что lim H(т) = 1, limH(т) = 1, lim H(т) = 1.

N —ад Т —ад N —ад,Т —ад

В силу этого, как видно из выражения (4.31) при выборе функции Н(т) вида (4.31) lim Aс = 0, lim Aс = 0, lim AC = 0. Другими словами, погрешность от

N —ад Т —ад N —ад,Т —ад

л

смещенности оценки Vk в рассматриваемом случае может быть сделана сколь угодно малой соответствующим выбором величин Т и N. Например, если

4

Rx (т) = о\ exp т , где тк - интервал корреляции, то относительной значение погрешности от смещенности оценки момента нулевого порядка V0 этой корреляционной функции рассматриваемым способом будет равно (4.31)

т)'1

A с

Yc Vn Г т ЛN 1

1 + ^ Т

у

Из полученной формулы видно, как эффективен рассматриваемый

способ с точки зрения обеспечения малых погрешностей от смещенности.

т

Действительно, если, например, величина Е выбрана так, что Т^ = 0.1, то при

N=0 \/с\ < 0.1, при N=1 \/с\ < 0.01, а при N=2 \/с\ < 0.001.

Таким образом, даже при очень небольшом N возможно получить весьма малые значения погрешностей от смещенности. При выборе функции Н(т) вида (4.40) фильтр с импульсной характеристикой Н(т) будет иметь структуру, показанную на рисунке хх.хх. Этот фильтр включает в свой состав (N+k+1) одинаковых фильтров нижних частот с передаточными функциями 1/(1+Tp) и блок суммирования.

Сравнивая два рассмотренных способа оценки величин момента k-го порядка корреляционной функции, приходим к тому, что, во - первых, последний способ существенно проще технической реализации, в следствии использования фильтров с нерегулируемыми параметрами. Во - вторых, что является весьма важным, при одинаковом числе фильтров последний способ обеспечивает погрешности от смещенности оценки несравнимо меньшие, чем первый.

Таким образом, именно последнему способу следует отдать предпочтение при оценивании моментов корреляционной функции анализируемого процесса.

<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 4.3 Оценка моментов корреляционной функции:

  1. введение
  2. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  3. 2.4.2 Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения
  4. Методы оценки корреляционных характеристик
  5. 4.3 Оценка моментов корреляционной функции
  6. 4.4 Оценка интервала корреляции
  7. Методы оценки спектральных характеристик составляющих объекта исследования
  8. 5.1 Современные методы оценивания спектральной плотности мощности
  9. Задачи корреляционного анализа.
  10. Выдержки из научных дневников (1965—1983)
  11. КУЛЬТУРА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ
  12. Тема 5Система методов психологии
  13. МАРКЕТИНГОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПРОСА НА УСЛУГИ СВЯЗИ
  14. Проблемы вероятностного моделирования
  15. 2.3. Методология исследования
  16. Исходные предположения и специальные задачи множественного регрессионного анализа