2.1. Модель затрат-стимулов как фактор повышения эффективности производства
х = Xk, (2.1)
где k - коэффициент прямой пропорциональности, который определяет возможности каждого исполнителя, например, по ремонту СВТ, т. е., кто имеет выше квалификацию, у того и больше коэффициент k [1, 17, 28].
Пусть возможности исполнителя i по ремонту СВТ описываются линейной зависимостью xi=Xki, где ki - индивидуальный коэффициент i-го исполнителя. В чем смысл этой зависимости? А в том, что при цене X количество СВТ соответствует наилучшему соотношению между затраченными исполнителем усилиями на восстановление технических средств. Каждый работник как бы соизмеряет стимулы с затратами своего труда и выбирает определенный объем и темп работы. Такую систему отношений называют моделью «затрат- стимулов». Чтобы получить линейную зависимость x=Xk, мы должны в качестве функции затрат взять параболу [1]:
1 2
j= 2k . (2.2)
В этом случае математическая модель примет вид
1 2
(стимулы-затраты) = Хх - —x . (2.3)
Возьмем производную по х, получим уравнение:
x
1-- = 0. (2.4)
k
Его решение х = Xk - и есть линейная модель возможностей i-го исполнителя. Если известны функции затрат одного исполнителя, то можно оценить средние суммарные затраты всех работников. Предположим, что функция затрат всех работников нам известна, определим, какое задание можно дать каждому, чтобы общие затраты были минимальными. В математическом плане эта задача выглядит следующим образом:
определить плановое задание x; > 0,i = 1,2,...,n (n - число сотрудников) так, чтобы суммарные физические затраты
~ n 1
Фзат = X2
i=1 2ki
были минимальными при условии
(2.6)
R
I Xi
i=1
т.
е. чтобы все члены группы вместе отремонтировали R технических устройств (в нашем случае R = 6 шт., n = 3 человека).Функция Ф называется целевой функцией задачи, а решение с минимальным значением целевой функции - оптимальным решением.
Например, для случая двух исполнителей необходимо минимизировать выражение
1
1 2
(2.7)
x.
-X2 +
Л.1 I 2k1 1 2k;
при условии х1 + х2 = R = 6 устройств.
Выразим х2 через х1 и подставим в функцию затрат, а потом найдем минимум функции уже одной переменной, получим следующую зависимость:
(2.8)
—x2 +—(R - x1 )2 2k1 2k2
Взяв производную, имеем
x1 R - x1 k1 k2
Приравняем к нулю это выражение, получим:
x1 =—x2 = —
k1 + k2 k1 + k2
Теперь найдем решение для произвольного числа исполнителей n по ремонту СВТ. Возьмем любых двух работников i и j. Они вместе отремонтировали (xi + xj) шт. компьютеров. Если задания xi и xj минимизируют общие затраты, то они должны минимизировать и затраты этих двух работников, т. е. общее количество устройств R должно быть распределено между ними прямо пропорционально коэффициентам ki и kj . Таким образом,
k
k :
(2.9)
x:
v- (xi+xj); xj =гтт- (x+xj),
ki + kj
ki+kj
или
(2.10)
x±=x.
x
Тогда отношение — одно и то же для всех исполнителей, обозначив это
k
x
отношение через X, получим — = 1 или x; = Xk;, для всех i. Но какую теперь
ki
взять цену X? Нужно установить такую цену, чтобы в сумме они отремонтировали количество компьютеров, равное R. Из уравнения вида
(2.11)
11k, = R
i=1
следует цена
R
1 = -
(2.12)
I ki
i=n
Далее можно найти минимальные затраты по следующей формуле:
R2
n 1 12 n
(2.13)
фmin = I^(lki )2 =11 ki
n
I ki
V i=1 J
2
i=1 2ki 2 i=1
Посмотрим, какой выигрыш будет получен по сравнению с тем, если бы платили всем поровну. Каждый работник должен отремонтировать, как было сказано выше, одно и то же количество компьютеров:
R
n
X, = —,
а значит, и затраты их равны, т.
еn 1 (R
1 R2
Ф = I
(2.14)
i=1 2ki
V n J
• I ¦2 n2 Й ki
Разделив затраты, указанные в нашем механизме, получаем:
Z ki
V i_i У
Z k
i_i k.
n
Ф
f n 1 \ f
(2.15)
n
Ф .
Q min
Но значения ki; отражающие возможности каждого работника, неизвестны. Если бы возможности у всех исполнителей группы были одинаковы, т. е. коэффициенты ki у всех равны, то Q = 1, тогда Ф = ФШП. Однако это не так. Возможности у работников разные. Теперь нужно как-то оценить различные возможности членов группы. Например, ограничим коэффициенты ki снизу и сверху:
k < k < k
mm — і — max '
Т. е. ki Є [kmax ;kmin ] для всех i.
Теперь посмотрим, какая будет эффективность работы по сравнению с разработанным механизмом в самом неблагоприятном случае.
Для этого нужно найти минимум выражения для Q по всевозможным значениям ki из отрезка [kmax;kminI Построим график
(рис. 2.1).Q
Из этого графика видно, что Q в зависимости от конкретных коэффициентов может принимать минимальные значения только в одной из двух точек: kmin или kmax, но неизвестно, в какой из них.
ki
km
km
Введем новую переменную m, которая обозначает число работников группы, для значения ki min достигается в точке kmin. Соответственно, для (n - m) исполнителей это происходит в точке Рис. 2.1. График эффективности kmax. С учетом m выражение для Q запишем в следующем виде:
(2.16)
Q _
(n - m)
m
n
+
k
k
[mkmin +(П - m )kmax ]
Число m в этом уравнении неизвестно. Значит, нужно определить m, при котором Qmin , или что одно и то же, при котором знаменатель максимален, т. е.:
m (n - m)
- + ^ (mkmin + (n - m)kmax максимален.
k
k
Если m = 0 (k = kmax) или m = n (k = kmin), то знаменатель равен 1. Меньше он быть не может - значит, max находится где-то между 0 и n, взяв производную, получим
(2.17)
n
m _ — 2
Подставляя (2.17) в формулу для Q (2.15), имеем
Г к к 4-1
(2.18)
Q 4 min J max + 2
Q _ к к
V max min J
к
Обозначая max _ g, получим следующее выражение: к
min
4g (g +1)2
Q . (2.19)
По данному выражению можно построить график для Q при различных значениях g.
Таким образом, на конкретном примере показаны реальные возможности исполнителей работ, которые могут колебаться в значительных пределах при соответствующем материальном их стимулировании.
Чтобы система материального стимулирования была более эффективной, в нее следует вводить противозатратные механизмы.