§ 4.20. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на механические волны нужно использовать формулы главы «Механические колебания» и формулы данной главы «Механические волны. Звук». Часто применяется выражение для скорости волны через частоту колебаний и длину волны: v = vX.

При определении собственных частот колебаний тела по формуле (4.7.2) следует иметь в виду, что она справедлива в тех случаях, когда оба конца колеблющегося тела либо закреплены, либо свободны.

Необходимо помнить условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов, а также законы отражения и преломления волн.

При решении некоторых задач нужно будет использовать законы механики Ньютона. 1. Исходя из сопоставления единиц физических величин, определите скорость распространения волн на поверхности жидкости с учетом только силы тяжести (длинные гравитационные волны). Предполагается, что глубина жидкости в сосуде Н X и амплитуда колебаний частиц в волне smРешение. Скорость распространения волн, о которых идет речь в данной задаче, определяется силой тяжести. Сила тя-жести характеризуется ускорением свободного падения g, которое выражается в метрах на секунду в квадрате.

Чтобы получить выражение для скорости, единица которой метр в секунду, нам надо ввести характерную величину, имеющую размерность длины, т. е. выражающуюся в метрах. Такой величиной является только длина волны, поскольку глубина сосуда очень велика, а амплитуда колебаний частиц в волне очень мала.

Из величин g и X можно сконструировать величину, выражающуюся в метрах на секунду, единственным образом,

а именно: v = kJgX, где k — безразмерный коэффициент. Теоретические расчеты показывают, что k = ^. -г

Задача 2

Определите скорость распространения продольной упругой волны малой амплитуды в стальном стержне.

Решение.

За время At фронт возбужденной при деформации стержня продольной волны переместится на расстояние I = vAt, где v — скорость распространения продольных волн. Следовательно, за время At в колебательное движение приходит часть стержня массой Am = pV = pSZ = pSvAt, где S — площадь поперечного сечения стержня.

По второму закону Ньютона

FAt = А (ти) = Amu = р SvuAt,

или

F = pSuv, (4.20.1)

где р — плотность стали.

Согласно закону Гука имеем:

F _ „А1 S ~ЕТ'

где Е — модуль Юнга. Отсюда

„ ESAl ESuAt ESu .. оп оч

г — —;— — тт— . (4.20 .z)

I vAt v v

Сравнивая выражения (4.20.1) и (4.20.2), получим:

ESu

= р Suv.

Отсюда

V Ip '

Взяв из таблиц значения для модуля Юнга Е = 2,1 • 1011 Па и р = 7,8 • 103 кг/м3, определим v = 5,2 • 103 м/с.

Задача 3

Определите скорость распространения v поперечной волны в струне, площадь поперечного сечения которой S, если модуль силы ее натяжения F можно считать постоянным , а плотность вещества, из которого изготовлена струна, равна р.

Решение. Рассмотрим малый элемент струны длиной ДI, находящийся на гребне волны (рис. 4.47). Равнодействующая сил натяжения, действующих на этот элемент, направлена вниз (см. рис. 4.47) и равна по модулю:

Fp = Fa.

Выберем систему отсчета, движущуюся со скоростью распространения волны v вдоль струны. В этой системе отсчета любой элемент струны движется со скоростью -v. Считая, что малый элемент струны имеет форму дуги окружности радиусом R, получим, что ускорение этого элемента равно:

2

v

an=R-

По второму закону Нютона

FP = тап>

или

2

гт V

Fa = т—.

л

Так как т = рSAl = pSRa, то

2

Fa = pS-Ra^.

Отсюда

IF

Задача 4

Найдите зависимость частоты колебаний основного тона струны от ее длины I, плотности р, площади поперечного сечения S и силы натяжения F.

Решение.

1 = 21.

v IF

Так как X = - , a v = — (см. задачу 3), то v ypS

1 /4-а.

V VpS

Отсюда

2ZVpS

Задача 5

Движущийся по реке теплоход дает свисток, частота которого vQ = 400 Гц. Стоящий на берегу наблюдатель воспринимает звук свистка как колебания с частотой v = 395 Гц. С какой скоростью и движется теплоход? Приближается или уда-ляется он от наблюдателя? Скорость звука v принять равной 340 м/с.

Решение. Частота звука зависит от скорости движения источника. При неподвижном источнике (точка А на рисунке 4.49) за время, равное периоду колебаний Т, колебание распространится на расстояние, равное длине волны XQ = vT. Если же источник движется (точка А' на рисунке 4.49) со ско-ростью и, то за время Т он пройдет в направлении распространения волны путь иТ, и колебание распространится за это время на расстояние X = XQ - иТ = (v - и)Т. При удаляющемся

источнике X = (и + и)Т. Таким образом, частота колебаний,

воспринимаемых ухом неподвижного человека, от движущегося источника звука получается равной

v = Wp X v ± и

Это выражение можно упростить, если и«и. Для этого умножим числитель и знаменатель на (v ± и) и пренебрежем чле-

Знаку «+» соответствует приближение источника, а знаку «-» — удаление. Это явление носит название эффекта Доплера.

Согласно условию задачи v < vQ, следовательно, теплоход удаляется от берега. Искомая скорость

Задача 6

К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который постепенно наливают воду, поднесен звучащий камертон. .Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояния от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигают значений = 25 см и h2 — 75 см. Определите частоту колебаний v камертона. Скорость звука v принять равной 340 м/с.

Решение. Звучание камертона усиливается в том случае, когда частота свободных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой колебаний камертона.

j , j, j, ... длин волн, т. е. в общем случае

где k = 0, 1, 2, ... — целые числа.

Так как частота колебаний связана с длиной волны форму-

v „ 7

лои v = ^, то для соответствующей некоторому значению k

частоты камертона получаем:

2ft + 1 v, = —тт— v. k 4hk

По условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому различным резонансным высотам hх и k2 воздушного столба должны соответствовать два значения k, отличающиеся на единицу: fe1 = /iHfe2 = n + l. Это значит, что

2kt + 1 2k2 + l 2л+ 1 2(п + 1) + 1

—тт— v = —тт— v или —г г .

4 fly 4 h2 hy h2

Отсюда находим п:

2(h2~h1)

Следовательно, kl = 0 и = 1. Поэтому

v = тт- = 340 Гц, или v = = 340 Гц. 4/гх П2

УПРАЖНЕНИЕ 4

Определите частоту v звуковых колебаний в стали, если расстояние I между ближайшими точками бегущей звуковой волны, колеблющимися с разностью фаз 90°, равно 1,54 м. Скорость звуковых волн в стали v = 5000 м/с.

Плоская поперечная волна задана уравнением

s = 2 • Ю-4 sin (628 t - 0,Зле), где s — смещение частицы в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, х — расстояние вдоль луча от источника колебаний. Определите частоту колебаний v, скорость распространения волны и, длину волны X и амплитуду колебаний скорости каждой частицы ит. Все величины в данном уравнении выражены в единицах СИ.

Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от источника колебаний на ij = 12 м и i2 = 14,7 м, колеблются с разностью фаз | п рад. Определите скорость волны в данной

среде, если период колебаний источника Т = 10~3 с.

Вибратор в среде совершает гармонические колебания, описываемые уравнением s = 3 • 10~2 sin 20nt (в единицах СИ). Считая волну плоской, определите смещение точки, расположенной на расстоянии 5 м от источника колебаний, через 0,1 с после начала колебаний при скорости распространения волны 200 м/с.

Определите собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе длиной I = 3,4 м.

Труба, длина которой I = 1 м, заполнена воздухом при нормальном атмосферном давлении. Рассмотрите три случая: труба открыта с одного конца; труба открыта с обоих концов; труба закрыта с обоих концов. При каких наименьших частотах в трубе будут возникать стоячие волны в указанных случаях? Скорость звука принять равной 340 м/с.

Тонкую струну заменили струной из того же материала, но имеющей вдвое больший диаметр. Во сколько раз нужно изменить силу натяжения струны, чтобы частота колебаний струны не изменилась?

На расстоянии I = 1068 м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на т = 3 с раньше, чем он дошел до него по воздуху. Чему равна скорость звука в стали? Скорость звука в воздухе v принять равной 333 м/с.

Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частотой v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью = = 330 м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывалось целое число длин волн. Этот опыт повторили, когда температура была на AT = 20 К выше, чем в первом случае. Число длин волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось во втором случае на две длины волны. Найдите расстояние I между пунктами А и В, если известно, что при повышении температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.? 2.

На рисунке 4.50 изображено поперечное сечение большого сосуда с жидкостью. Слева из среды с глубиной hx под углом к границе раздела глубин движется плоская волна, длина которой X hv Под каким углом к границе раздела глубин будет распространяться эта

волна в среде, где глубина жидкости й2? Считать скорость

волн равной v = kjgh , где k — постоянный коэффициент.

Звуковые волны частотой v имеют в первой среде длину Xj, а во второй среде Х2. Как изменится скорость распространения этих волн при переходе из первой среды во вторую, 2Х2?

если X, Во сколько раз изменится длина звуковой волны при пе-реходе звука из воздуха в воду? Скорость звука в воде Uj = 1480 м/с, в воздухе v2 = 340 м/с.

При каком расстоянии между источниками (см. рис. 4.37) ни в одной точке не будет полного гашения волн?

Один из двух неподвижных кораблей излучает в воду ультразвуковой сигнал, который принимается в воде приемником второго корабля дважды: через время tx и t2 (t2 > tx) от момента излучения сигнала первым кораблем. Считая дно горизонтальным и скорость звука в воде равной и, определите глубину моря Н.

Скорость звука в стержне из дюралюминия v = 5,1 • 103 м/с. Плотность дюралюминия р = 2,7 • 103 кг/м3. Определите модуль Юнга.