Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

§ 9.15. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


В задачах на расчет деформаций твердых тел используется по-нятие напряжения (9.3.1), закон Гука в форме (9.3.2) и (9.3.4), а также понятие предела прочности и запаса прочности (9.3.5).
При решении задач по гидростатике используются основные законы этого раздела: закон Паскаля и закон Архимеда.
В этом разделе иногда применяют условия равновесия твердого тела. При рассмотрении равновесия тел в неинерциальных системах отсчета необходимо учитывать силы инерции. Задачи о плавании тел решаются на основе условий равновесия.
Задачи гидродинамики решаются с использованием уравнения Бернулли, но можно решать их, применяя закон сохранения энергии.
Задача 1
Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной 10 = 3 м и площадью сечения S = 1 мм2 для ее удлинения на А1 = 1,5 мм?
Решение. Согласно закону Гука о = Ez, где Е = 1011 Па — мо-
„ F АI дуль Юнга для латуни, а = g — напряжение и є = -j относительное удлинение. 468
Закон Гука можно записать в форме
F _ ИI S~EV0>
отсюда
ESAI
F =

Выразим данные величины в единицах СИ: S = 10~6 м2 AI = 1,5 • 10~3 м. Найдем модуль деформирующей силы:
f=1011.10-6l,5.10-3H = 5()Hj
Задача 2
Какой наибольшей высоты можно выложить башню из кирпича, предел прочности на сжатие у которого равен 6-Ю6 Па, если принять запас прочности равным 10? Плотность кирпича 1800 кг/м3.
Решение. Зная запас прочности, находим допустимое напряжение адоп = . Деформирующей силой является сила тяжести, действующая на башню. Максимально допустимое напряжение испытывает основание башни:
_mg _ рghS _
адоп - - ~s PSh.
Учитывая запас прочности, получаем: Отсюда
h = ^ я 33,3 м.
Р gh
Задача 3
Шарик из дерева плотностью pj = 500 кг/м3 удерживается в воде в затопленном состоянии легкой пружиной (рис. 9.52). Чему равно растяжение х2 пружины, если подвешенный в воздухе шарик растягивает ее на = 1 см? Объемом пружины пренебречь. Плотность воды р2 = 103 кг/м3.
Рис. 9.52
Рис. 9.53
Решение. Когда шарик висит на пружине в воздухе, то сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести, действующую на шарик:
F, = mg или AJC1 = рyVg, (9.15.1)
где k — жесткость пружины и V — объем шарика.
На шарик в затопленном состоянии вниз действуют сила тяжести и сила упругости со стороны растянутой пружины. Эти силы уравновешиваются действующей вверх на шарик архиме-довой силой:
F2 + mg = FA ИЛИ kx2 = Р2Vg - РjVg. (9.15.2) Разделив почленно (9.15.2) на (9.15.1), получим:
Р
Откуда
х, = « 0,01м.
2 Pi
Задача 4
Неоднородная твердая балка BD массой т подвешена на трех одинаковых параллельных тросах, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Один из тросов прикреплен в середине балки, а два других — на ее концах. Определите силы реакции тросов, если центр
тяжести балки расположен на расстоянии ВК — іBD от точки В балки (рис. 9.53). Решение. Обозначим искомые силы через Fv F2, F3. Расстояния между тросами будем считать равными а. Сила тяжести
приложена в точке К на расстоянии ^ от точки Б.
Законы статики дают нам два условия равновесия: равенство нулю суммы проекций сил на ось У:
Ft + F2 + F3 - mg = О
и равенство нулю суммы моментов этих сил относительно оси, проходящей, например, через точку Б:
F2a + F3 • 2а - mg| = 0.
Мы получили два уравнения с тремя неизвестными.
Если считать тросы абсолютно твердыми, как это мы делали в статике, то больше никаких уравнений получить нельзя.
Чтобы найти недостающее уравнение, будем считать тросы упругими телами, подчиняющимися закону Гука. Пусть тросы имеют одинаковую длину, но сделаны из разных материалов и имеют разные площади Slt S2, S3 поперечных сечений. Модули Юнга тросов соответственно равны Ev Е2, Е3.
Под действием нагрузки тросы получают абсолютные удлинения Alv А12, А13 (см. рис. 9.53). Для каждого троса на основании закона Гука можно записать:
AZj A l2 А 13
ai = Еі~Г ' с2 = Е2~ ' °з = E3~f '
где Oj, сг2, а3 — напряжения в тросах. Учитывая определение напряжения (9.3.1), получим:
F, A I, F0 А/р F~ А/,
— = К — — = Е — _ = К -
Sx 1 I ' S2 2 I ' S3 і •
Откуда
IFj IF2 IF.
AH= ' AL2 ртя: ' =
' ВД}' 8 ВД,"
Так как BD — прямая линия, то из подобия треугольников ABD и CDE (см. рис. 9.53) можно записать:
Аг1 ~ дгз = 2а AZ2 - Al3 а
или
F3 „ f F2 F3
Это и есть недостающее третье уравнение. Решите самостоятельно полученную систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными в общем виде.
Мы в соответствии с условием задачи будем считать, что тросы сделаны из одного и того же материала и имеют одинаковые сечения. Тогда получим три следующих уравнения:
F1 + F2 + F3 = mg, 2 F2 + 4 F3 = mg, F1-2F2 + F3 = 0.
Отсюда находим:
Fi= f2 mg' = § mS< Fa= Ї2 m8- Задача 5
Сосуд с жидкостью движется горизонтально с постоянным ускорением а, направленным горизонтально. Как расположится поверхность жидкости? Чему равно давление внутри жидкости в произвольной точке?

Рис. 9.54
Решение. Проще всего решать задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с сосудом. Выделим на поверхности жидкости малый элемент жидкости массой Ат (рис. 9.54, а). В системе отсчета, связанной с сосудом, на выделенный элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести A mg, сила инерции FK, направленная противоположно ускорению а системы, и сила нормальной реакции N со стороны остальной жидкости.
Выделенный элемент жидкости находится в равновесии. Поэтому вектор N должен быть направлен противоположно сумме векторов Fa и A mg. А это значит, что свободная поверхность жидкости расположится не горизонтально, а наклонно — перпендикулярно вектору N.
Согласно условию равновесия A mg + FK + N = 0. При геометриче- а) б)
Рис. 9.55
ском сложении этих сил они образуют замкнутый треугольник (рис. 9.54, б), из которого следует:
і Fa А та а /Л _ os
tg ос = -г— = -р— = - . (9.15.3)
6 Amg Amg g v '
Откуда a = arctg ^. Такой угол поверхность жидкости образует с горизонтом.
Обозначим модуль ускорения, создаваемого силой тяжести и
/ 2 2
силой инерции (рис. 9.55, а), через av тогда а, = л]а + g . Направление ускорения 3j должно быть перпендикулярно по-верхности, так как оно создается результирующей силой FK + mg, которая уравновешивает силу N.
Давление в любой точке В внутри жидкости можно выразить через высоту h до поверхности жидкости по вертикали или через расстояние I до поверхности жидкости по горизонтали. Расстояние от точки В до поверхности жидкости по нормали к ней обозначим через Л' (рис. 9.55, б).
Из прямоугольных треугольников ABD и DBC находим:
h' = Acos а = Isin а.
Но
g ¦ а
cos а = , и sin а =
/2,2 / 2 , 2 л/а +g *ia + g
(см. рис. 9.55, а). Поэтому
р =р0 + ph'J а2 + g2 = р0 + р gh = р0 + pal, (9.15.4)
где р0 — давление на поверхность жидкости, р — плотность жидкости. 11. Из (9.15.4) следует, что уровни постоянного давления совпадают с плоскостями, параллельными поверхности жидкости.
Заметим, что при действии силы тяжести и горизонтально направленной силы инерции архимедова сила направлена не вертикально вверх, а по нормали к поверхности жидкости и равна:
FA=pJa2 + g2. (9.15.5)
Задача 6
На поршень шприца, имеющий площадь s, действует постоянная сила f. с какой скоростью v должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия шприца площадью s, если плотность жидкости равна р?
Решение. Пусть за время х поршень перемещается на расстояние их (рис. 9.56), где и — модуль скорости поршня. Тогда сила совершает за это время работу А = Fux. Масса вытекшей за время х жидкости равна pSux. Изменение кинетической энергии равно 2 и2
pSux - -g-J • Согласно закону сохранения энергии
2 2
Fux = - У . (9.1,5.6)
Модуль скорости истечения жидкости v связан с модулем скорости й соотношением (см. формулу (9.9.2)):
Su = sv. (9.15.7)

v = —(9.15.8)
S

Исключая из двух последних уравнений и, найдем:
Если, как обычно, s « S, то
(2F
Результат (9.15.8) можно получить короче с помощью уравнения Бернулли (9.9.2):
2 2 . pu . ри
О _1_ F
В нашем случае pt = р0 + ^, а р2 = р0,
где р0 — атмосферное давление. Отсюда
2 2
Уравнения (9.15.6) и (9.15.9) эквивалентны. Задача 7
В сосуд, в дне которого имеется узкое отверстие, закрытое пробкой, налита вода до высоты Л = 1 м. На поверхности воды находится поршень массой т. = 1 кг и площадью S = 100 см2. Между поршнем й стенками сосуда вода не просачивается. Найдите скорость истечения воды из отверстия в дне сосуда сразу после того, как из отверстия будет вынута пробка. Трение не учитывать.
Решение. Воспользуемся уравнением Бернулли. Давление в струе воды равно атмосферному р0. Давление под поршнем на
высоте h от отверстия равно р0 + ^. Скоростью течения жидкости под поршнем можно пренебречь, так как она мала по сравнению со скоростью истечения из отверстия, потому что площадь отверстия значительно меньше площади поршня (см. § 9.2). Согласно уравнению Бернулли
2
, j. т8
Ро+ V =Po + PhS+ -g--
pS
v = J2gh + ^f я 4'9 м/с-
Отсюда
Упражнение 16
Под действием какой силы, направленной вдоль оси стержня, в нем возникнет напряжение 1,5 • 108 Па, если диаметр стержня 0,4 см2?
Чему равно напряжение у основания кирпичной стены высотой 20 м? Плотность кирпича равна 1800 кг/м3.
Под действием силы 100 Н проволока длиной 5 м и сечением 2,5 мм2 удлинилась на 1 мм. Определите напряжение, испытываемое проволокой, и модуль Юнга.
Стальная проволока сечением 2 мм2 и длиной 4 м под действием силы F удлинилась на 2 мм. Найдите модуль этой силы. Модуль Юнга равен 2 • 1011 Па.
Какую работу надо совершить, чтобы недеформированный резиновый шнур удлинить на 10 см? Площадь поперечного сечения шнура 1 см2, первоначальная длина его 1 м, а модуль Юнга резины равен 107 Па.
Какую наименьшую длину должна иметь железная проволока, чтобы при вертикальном положении она разорвалась под действием собственного веса? Предел прочности 3,2 • 108 Па, плотность равна 7800 кг/м3.
Груз какой массы может быть подвешен на стальном тросе диаметром 3 см при десятикратном запасе прочности, если предел про-чности стали равен 7-Ю8 Па?
Балка АВ, один конец которой укреплен шарнирно на стене, удерживается в горизонтальном положении тросом ВС (рис. 9.57), АС = 3 м. Длина балки равна 4 м, а ее масса 1000 кг. Определите необходимую площадь сечения троса, если допустимое напряже-ние в нем не должно превышать 108 Па.
Однородный стержень длиной I и плотностью р движется с постоянным ускорением а по гладкой горизонтальной поверхности. Как распределяется напряжение в материале стержня вдоль его длины? Сила приложена к одному из концов стержня.


И а У
Ю.Груз массой m = 10 кг удерживается тремя тросами (рис. 9.58) одинакового сечения и материала. Тросы расположены в одной плоскости: средний вертикально, а два других составляют с ним угол а = 60°. Чему равны силы
упругости, возникающие в тросах?
„„ m Рис- 9.59
Три сосуда с приставным дном погружены в воду на одинаковую глубину. Дно каждого из сосудов (рис. 9.59) отпадает, если налить в них по 1 кг воды. Отпадет ли дно, если: а) налить в сосуды по 1 кг масла; б) налить в сосуды по 1 кг рту-ти; в) положить в каждый сосуд по гире массой 1 кг?
Какова должна быть минимальная мощность садового насоса, поднимающего воду из колодца глубиной 20 м? Площадь сечения трубы, по которой подается вода, равна 10 см2. Насос перекачивает ежесекундно 100 л воды.
Кубик льда плавает в воде. Поверх воды наливают керосин вровень с верхней гранью кубика. Какая часть объема кубика будет нахо-диться в воде? Плотность воды 103 кг/м3, плотность льда 900 кг/м3, плотность керосина 800 кг/м3.
Тонкий однородный стержень шарнирно закреплен за верхний конец. Снизу под стержень ставят сосуд с водой. Плотность материала стержня меньше плотности воды. Так как вертикальное положение стержня, погруженного нижней частью в жидкость, неустойчиво, то стержень оказывается в равновесии в отклоненном от вертикали положении. Определите плотность материала стержня, если он погружен в воду наполовину. Плотность воды 1000 кг/м3.
Полое тело, отлитое из алюминия, плавает в воде, погрузившись в воду ровно наполовину. Объем тела, включая полость, равен У0 = 400 см3. Определите объем V полости. Плотность алюминия ра = 2700 кг/м3, плотность воды рв = 1000 кг/м3.
В цилиндрическом сосуде с водой плавает кусок льда, внутри которого замерзла цинковая пластинка. Когда лед растаял, уровень воды в сосуде понизился на АЛ = 3 см. Какова масса цинковой пластинки? Внутренний диаметр сосуда d = 30 см; плотность цинка рц = 7000 кг/м3, плотность воды рв = 1000 кг/м3.
В сообщающиеся сосуды с разными диаметрами была налита ртуть. После того как в узкий сосуд налили слой масла высотой Н = 0,6 м, уровень ртути в широком сосуде повысился относительно первоначального уровня на h = 7 мм. Найдите отношение диаметров сообщающихся сосудов —. Плотность ртути Pj = 136 000 кг/м3, плотность масла р2 = 800 кг/м3.? Сплав свинца и олова имеет в воде вес Р1 = 500 Н, а в масле Р2 = 510 Н. Определите массу свинца тс в слитке. Плотность свин-ца рс = 11 300 кг/м3, олова р0 = 7400 кг/м3, воды рв = 1000 кг/м3, масла рм = 800 кг/м3.
Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на расстояние Л = 0,2 м, а большой поршень поднимается на высоту Н = 0,01 м. С какой силой F действует пресс на сжимаемое в нем тело, если на малый поршень действует сила f = 500 Н?
Судно получило большую пробоину в боковой подводной части. В какую сторону оно начнет перемещаться вследствие этого?
В дне бака высотой 50 см, полностью заполненного водой, имеется отверстие площадью 1 см2, значительно меньшей площади сечения бака. Если открыть отверстие, то из него начинает вытекать струя воды и падать вниз. Чему равна площадь сечения струи на высоте 20 см ниже дна?
Труба расположена горизонтально. В широкой части трубы диаметром D расположен поршень и на него действует постоянная сила F. Узкая часть трубы имеет диаметр d, и из нее вытекает струя воды. Найдите скорость перемещения поршня. Трение не учитывать.
Колба движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением. В колбе стоит зажженная свеча. В каком направлении отклонится пламя свечи?
В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью 8 см/с при давлении 1,5 • 105 Па. В узкой части трубы давление равно 1,4 • 105 Па. Найдите скорость течения воды в узкой части трубы. Трение не учитывать.
Какова высота Л столбика ртути в ртутном барометре, помещенном в лифте, движущемся с ускорением, направленным вниз и равным по
модулю а = если атмосферное давление равно р0 = 760 мм рт. ст.?
На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площадью S. Какую силу надо приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна Л?
Как приближенно оценить скорость катера v, если вода поднимается вдоль носовой вертикальной части катера на высоту Л = 1 м?
<< | >>
Источник: Г. Я. Мякишев. ФИЗИКА¦ МЕХАНИКА ¦10. 2012

Еще по теме § 9.15. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

  1. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  2. §1.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  3. §2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  4. § 4.20. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  5. § 1.25. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1
  6. §1.31. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  7. § 2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  8. § 4.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  9. § 5.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  10. § 6.12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  11. § 8.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  12. § 9.15. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  13. §4.9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  14. § 5.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  15. §6.9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  16. §7.8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  17. § 1.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  18. § 3.21. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ