20. Обычно рассматривают ур-я разрешенные относит-о старшей производной:

y(n)=f(x,y,y.(3) Общее решение ур-я (3) зависит от n произвольных постоянных: y=φ(x,C1, C2,..,Cn). Чтобы выделить частное реш-е необходимо задать нач-е условие: .

21. Это ур-е вида: y+a1(x)y+a2(x)y=f(x) (1),т.е это ур-е линейное относительно неизвестной ф-ии и её производной, если правая часть f(x)=0, то ур-е называют линейным однородным уравнением.Иначе неоднородным.Если в некот интервале а≤х≤b ф-ии а1(х),а2(х) и f(x) непрерывны, то ур-ие(1)при нач-х условиях у(х0)=у0, y(x0)=y(0), y(x0)=y0 имеет единств реш-е удовлетворяющее условиям.Это следует их того,что к ур-ю (1) записанному в виде y=-a1(x)y-a1y-f(x) применима теорема о существовании и единственности задачи Коши.Раасмотрим ур-е (1) без правой части,т.е соответствующее однородное ур-е yclass="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1303/image/222.gif">+a1(x)y+a2(x)y=0 (2)

Теорема:Если y1(x) и y2(x) какие-л частные решения ур-я(2),то их линейная комбинация y=C1y1(x)+C2y2(x) тоже будет явл реше-ем ур-я (2) при С1 и С2.

Док-во:Рассмотрим y=C1y1(x)+C2y2(x). Найдем y=C1y1+C2y2, y=C1y1+C2y2. Подставляем в ур-е: С1y1+C2y2+a1C1y1+a1C2y2+ a2C1y1+a2C2y2’=C1(y1+a1y1+a2y1)+C2(y2+a1y2+a2y2)=0.Вывод: если y1(x) и y2(x)-решение ур-я (2),такие что y2/y1 ≠const,то выражение C1y1(x)+C2y2(x) будет общим реш-ем ур-я (2),т.е. линейного однородного ур-я.Из общего реш-я при заданных возможных нач-х усл-х м-б найдено частное реш-е,удовлетворяющее начальным.

Пусть задано нач-е усл-е : y(x0)=y0, y(x0)=y0, подставляя нач-е условие в общее решение, получим систему относительно C1 и C2,а именно : y=C1y1+C2y2, y=C1y1+C2y2(3)–сист д/нахождения произвол-х постоянных y10=y1(x0), y20=y2(x0), y10=y1(x0), y20=y2(x0).

≠0(4) Определитель Вронского

Т.о.,если y1 и у2 такие частные решения, что y2/y1 ≠const,то определитель(4) будет ≠0 ни в одной точке x0/

Рассм ур-е с правой частью: y+a1(x)y+a2(x)y=f(x) (4) соответствующим ур-ю y+a1(x)+a2(x)y=0.