3. Пусть заданы X,Y R.

Опред:Если каждому x по определен закону (правилу) сопоставляется определенный эл-т y,то говорят,что на множ-ве X задана ф-ия со значениями y и обозначается f: X

Множ-во x,на котором определена ф-ия назыв областью определения Df ф-ии,а множ-во соответствующих значений,кот принимает ф-ия назыв областью значений Ef.

Переменную x назыв независимой/аргументом, а y-зависимой.

Способы задания ф-ии:1)аналитический.т.е. ф-ия задается формулой y=f(x). (Напр,y=3x2, y=logax); 2)Табличный.т.е. ф-ия задается таблицей,содержащей значения аргумента и соответствующие значения ф-ии; 3)Графический.т.е. ф-ия задается в виде графика-мн-во точек с координатами(x,y) пл-ти, абсцисса которых есть аргумент ф-ии, а ордината ф-ии-y;4)Словесный.Если ф-ия описывается правилом его составления.(Ф-ия Дирехле. D(x)=; y=[x]

Св-ва ф-ии:1)Четность,нечетность.2)Монотонность.3)Периодичность. f(x) периодична с периодом T,если f(x+T)=f(x).4)Ограниченность.y=f(x)-огранич-а на множ-ве X,если .

4.10) Обратная ф-ия.Пусть ф-ия f:x. Поставим в соответствие каждому y единственное значение, при котором f(x)=y. Тогда полученная ф-ия x=#966;(y) определенная на мн-во Y со знач-ми в x назыв обратной y=f(x).

Т.к. независимую переменную принято обозначать через x,а ф-ию-y,то обратная к y=f(x) может быть переписана в виде y=#966;(x).Принято обозначать y=f-1(x).

Графики прямой и обратной ф-ии симметричны относит-но 1и3четверти.

Для того чтобы обратная ф-ия была однозначной прямая ф-ия должна быть монотонной.

20)Сложная ф-ия.Пусть заданы 2ф-ии. . Тогда можно образовать новую ф-ию,кот-я каждому X сопоставляет Z следующим образом: .

Полученная ф-ия,назыв сложной ф-ей или композицией ф. f и g и обознач: fog(x)=g(f(x))=z.

30)Основные элементарные ф-ии:1)y=c, c=const. Df=R; 2)y=xn-степенная ф-ия:а)nf=R; б)nZ, если Z-отриц,то y=xn=, Df=R/{0}; в)n, т.е. n=, ; , Df=; 3)y=ax, a, a, Df=R; 4)y=, a; 5)Тригонометрические ф-ии: а)y=sinx. T=2#960;, Df=R, Ef=[-1;1]. б)y=cosx. T=2#960;, Df=R, Ef=[-1;1]; в)y=tgx=. Df=R/{Ef=R; г)y=ctgx=. Df=R/{0+k#960;},k; д)cosecx=, Df=R/{k#960;}, k; е)y=secx=, Df=R/{; 6)a)y=arcsinx.

40)Элементарные ф-ии. Ф-ии,кот получаются(построены) из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа арифметических операций и композиций назыв элем-ми.

Выделяют:1)Алгебраические ф-ии.а)Целая рацион-я ф-ия(Ф-ия, в преобразовании которой используются только +,?);б)Дробно-рац.(+,?,divide;); в)иррац-я ф-ия(+,-,?,divide;,divide;); 2)Трансцендентные ф.(все,кот не явл алгебраическими.Напр,y=ctgx).

50)Применение ф-ий в экономике.Наиболее часто используются:1)Ф-ия полезности;2)Производственная ф.;3)ф.выпуска;4)ф.издержек;5)ф.спроса

5.Опред.Если д/каждого n-натур числа по определенному закону поставлено в соответствие число an, то говорят,что задана последовательность an. Обознач: {an}

an=f(n)

Последовательность также назв-т ф-ей целочисленного аргумента.

а1,а2,а3-члены последов-ти;аn-Общий член последов-ти.

Опред. Число p назыв-ся пределом послед-ти {an} при n .

Последов-ть назыв сходящейся,если она имеет конечный предел и расходящийся в противном случае или не существ-т.

6.10)Предел ф-ии в бесконечности. Число pназыв пределом ф-ии f(x) при xесли такое что удовлетв-х , что

p=

20)Предел ф-ии в точке.Пусть x0Число p назыв пределом ф-ии f(x) при xесли для : и удовлетворяющих ,что .

Обознач:p=; p-.

Замечание1.В данном определении число p-конечно. Если =, то для обязательно такое что для , удовлетв

Замечание2. Определение предела не требует существования ф-ий в самой т.x0, т.к. рассматривает значение ф-ии в некоторой окрестности т.x0. Поэтому наличие/отсутствие предела при x определяется поведением ф-ии в некот-й окрестности этой точки и не связана со значением ф-ии в этой точке.

Замечание3. Если при стремлении x переменная x принимает значение лишь меньше x0(или ) и пpи этом f(x), то говорят об односторонних пределах ф-ии соответственно слева(справа).

Справедливо утверждение: существование =:p и равенству м/у собой обоих односторонних пределов. =

7.Опред. Ф-ия #945;(x) назыв Бесконечно малой(БМ) при ,если

y=sinx-БМ при

Ф-ия #945;(x) БМ при ,если для найдется

Теорема.(связь предела ф-ии с БМ величиной): Если f(x) при имеет предел(p),то эта ф-ия представима в виде:f(x)=p+#945;(x), где #945;(x)-БМ ф-ия .

Док-во. Пусть , -это означает,что x0. (*)

Обозначим f(x)-p через #945;(x). Тогда (*) , т.е. #945;(x)-БМ ф-ия. f(x)-p=#945;(x).

Cв-ва БМ ф-ий:1)Сумма конечного числа БМ ф-ий при снова есть БМ ф-ия при 2)Произвед-е БМ ф-ии на ограниченную снова есть БМ ф-ия. 3)Частное от деления БМ ф-ии на ф-ию, имеющую конечный предел x=0, снова есть БМ ф-ия. .

Замечание. Св-во 3 не рассматр предел отношений двух БМ ф-ий #945;(x), #946;(x) из-за его неопределенности. Случай,если , то говорят, что #945;(x)-БМ ф-ия по сравнению с #946;(x)(или БМ более высокого порядка малости чем #946;(x).В этос случае записывают так: #945;(x)=0(#946;(x)).

В случае,когда то ф-ия #945;(x) и #946;(x) БМ одного порядка.

В частности,при с=1, говорят,что #945;(x) и #946;(x) эквивалентны: #945;(x) #946;(x)

8. Опред. Ф-ии f(x) назыв бесконечно большие(Бб) при , если ,т.е. для

y=tgx, x-Бб ф-ия.

Замеч. Бб ф-ия явл неограниченной на некотором промежутке оси X,но неогранич-я ф-ия необязательно будет Бб-ой.

Св-ва Бб ф-ий:1)Произведение f(x)-ф-ии, на g(x): снова есть Бб ф-ия; 2)Сумма Бб ф-ии и ограниченной снова есть Бб ф-ия. 3)Частное от деления Бб ф-ии на ф-ию имеющую конечн предел снова есть Бб ф-ия.

Теорема(связь между Бб и Бм ф-ми):1)Если f(x)-бм ф-ия при ,то ф-ия h(x): -это есть Бб ф-ия, при ; 2)Если f(x)-Бб ф-ия при ,то ф-ия h(x): -это есть Бм ф-ия, при ;

Док-во. Пусть f(x)-Бм ф-ия. ; .