Задача 3.

Теоретическое введение

Функцией переменной величины , называется величина такая, что каждому значению , принадлежащей некоторой области , соответствует единственное значение величины .

Обозначение: .

– область определения функции, – аргумент.

– область изменения функции, – значение;

Функия может быть задана аналитически, таблично, графически.

Основными элементарными функциями являются:

a) степенные (, где – произвольное число)

b) показательные (, , )

c) логарифмические (,, )

d) тригонометрические (, , , )

e) обратные тригонометрические (,,, )

Композиция (суперпозиция) двух функций и есть функция, в которой аргументом одной из данных функции, является значение другой функции.

Сложная функция есть композиция двух и более функций.

Элементарная функция есть функция, полученная из основных элементарных функций с помощью арифметических действии и композиции.

Целью математического анализа является изучение различных функций, их свойств, и операций связанных с функциями.

Функция называется четной, если для всех своих аргументов.

Функция называется нечетной, если для всех своих аргументов.

Число называется пределом функции при , стремящемся к и обознается , если при неограниченном приближении к , неограниченно приближается .

Свойства пределов:

1. Передел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют:

2. Предел произведения функции равен произведению пределов, если они существуют:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов, если они существуют, и предел знаменателя не равен нулю: , при .

Обычно , например:

Однако, иногда значение не входит в область определения функции . В этом случае имеются различные методы вычисления пределов:

Выделение общего множителя

b)

c)

Выделение главной части

d)

e)

Использование замечательных пределов

Первый замечательный предел:

f)

g)

Второй замечательный предел:

h)

i)