Передаточная функция одного сочленения робота
Промышленные роботы имеют электрические, гидравлические или пневматические приводы. Чаще всего каждое сочленение манипуляторов оснащается электродвигателями постоянного тока с независимым возбуждением.
Особенности такого привода – высокая мощность, плавность хода, регулируемость, линейность нагрузочной характеристики и небольшие постоянные времени.
Рисунок 16.2. Эквивалентная схема двигателя постоянного тока
с управлением в цепи якоря
Основными переменными величинами в этой схеме являются следующие:
- напряжение якоря, В; | - момент, развиваемый двигателем, Н·м; |
- напряжение поля, В; | - угловое перемещение вала двигателя, рад; |
- индуктивность якоря, Гн; | - угловое перемещение вала нагрузки, рад; |
- индуктивность поля, Гн; | - момент инерции двигателя, при-веденный к валу двигателя,; |
- сопротивление якоря, Ом; | - коэффициент вязкого трения двигателя, приведенный к валу двигателя, ; |
- сопротивление поля, ОМ; | - момент инерции нагрузки, приведенный к валу нагрузки, ; |
- ток якоря, А; | -коэффициент вязкого трения нагрузки, приведенный к валу нагрузки, ; |
- ток поля, А; | -число зубьев редуктора двигателя; |
- электродвижущая сила, В; | -число зубьев редуктора нагрузки. |
Как следует из схемы системы передач, (рис.16.3) общее линейное перемещение редукторов при их взаимодействии одинаково, т.е.:
и , (16-1)
где и -соответственно радиусы взаимодействующих шестерен внутреннего и внешнего редуктора.
Или (через число зубьев):
, (16-2)
или , (16-3)
где n- передаточное отношение, связывающее и следующим образом:
. (16-4)
Рисунок 16.3. Анализ системы механической передачи
Продифференцировав два раза, получим:
(16-5)
и . (16-6)
Если нагрузка подсоединена к внешнему редуктору, момент, обеспечиваемый выходным валом двигателя, равен сумме моментов, потребляемых двигателем и нагрузкой.
Таким образом:
(16-7)
или в другой форме:
. (16-8)
Момент нагрузки, приведенный к валу нагрузки, равен:
, (16-9)
а момент двигателя, отнесенный к валу двигателя, равен:
. (16-10)
По закону сохранения энергии работа, производимая нагрузкой, приведенная к валу нагрузки , должна равняться работе, приведеной к валу двигателя . Из этого следует, что:
. (16-11)
С учетом уравнений (16-9), (16-5) и (16-6) имеем:
.
(16-12)Используя уравнения (16-10) и (16-12), запишем выражение для момента, развиваемого выходным валом двигателя:
(16-13)
где - суммарный эффективный момент инерции двигателя и нагрузки, приведенной к валу двигателя;
- суммарный коэффициент ввязкого трения двигателя и нагрузки, приведенной к валу двигателя.
Основываясь на полученных выше результатах, можно определить передаточную функцию рассматриваемой системы одного сочленения манипулятора. Поскольку момент на валу двигателя линейно зависит от тока якоря и не зависит от скорости и углового положения, получим:
, (16-14)
где - коэффициент пропорциональности, имеющий размерность .
Используя закон Кирхгофа для контура якоря, получим:
, (16-15)
где - электродвижущая сила, пропорциональная угловой скорости двигателя:
, (16-16)
а - коэффициент пропорциональности, имеющий размерность .
Производя преобразование Лапласа над полученными уравнениями и решая их относительно , получим:
. (16-17)
В результате выполнения преобразования Лапласа над уравнением (16-13), имеем:
.
(16-18)Производя преобразование Лапласа над уравнением (16-14) и подставляя в него значения из уравнения (16-17), получим:
. (16-19)
Приравнивая уравнения (16-18) и (16-19) и группируя члены, получаем передаточную функцию от напряжения якоря к угловому перемещению вала двигателя:
. (16-20)
Так как величина постоянной времени двигателя, обусловленная электрическим взаимодействием, намного меньше ее величины, обусловленной механическими факторами, можно пренебречь влиянием индуктивности якоря . Это позволяет упростить предыдущее уравнение:
, (16-21)
где - передаточный коэффициент двигателя;
- постоянная времени двигателя.
Поскольку выходом системы управления является угловое перемещение сочленения , используя уравнение (16-4) и его преобразование Лапласа, можно отнести угловое положение сочленения к напряжению якоря , т.е.:
. (16-22)
Уравнение (16-22) является передаточной функцией одного сочленения манипулятора, связывающей прикладываемое напряжение с угловым перемещением сочленения. Блок-схема системы показана на рис. 16.4.
Рисунок 16.4. Передаточная функция разомкнутой системы одного сочленения манипулятора робота