§8.10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении большинства задач на материал § 8.9 используется уравнение теплового баланса = 0 с включаемой в

і

него теплотой плавления QnjI = Хт или теплотой кристаллизации QKp = -Хт.

Решение ряда задач требует знания кристаллической структуры вещества.

Задача 1

Кристаллы поваренной соли состоят из чередующихся ионов натрия и хлора, причем ячейка кристалла имеет форму куба (рис.

Решение. Кубическая ячейка поваренной соли NaCl состоит из четырех ионов Na и четырех ионов С1, находящихся в ее вершинах. Каждый ион (Na или С1) входит в состав восьми ячеек. Поэтому в кристалле NaCl число кубических ячеек равно суммарному числу ионов Na и С1. Следовательно, в одном моле поваренной соли содержится 2NA ячеек, где NA— постоянная Авогадро.

Обозначим искомое расстояние между ионами Na и СІ в ячейке буквой I,? тогда объем ячейки будет равен Is. Объем одного моля (молярный объем) поваренной соли равен

VM = l3-2NA. (8.10.1)

С другой стороны, молярный объем поваренной соли можно найти, разделив молярную массу на плотность:

VM=j. (8.10.2)

Из выражений (8.10.1) и (8.10.2) получаем

А Р

Отсюда Задача 2

В массивный алюминиевый сосуд, нагретый до температуры tx = 75 °С, положили лед массой т2 = 0,4 кг при температуре t2 = 0 °С. После установления теплового равновесия температура сосуда с его содержимым оказалась равной t = = 50 °С. Какова масса тj сосуда? Удельные теплоемкоёти алюминия и воды соответственно равны сх = 770 ДжДкг ¦ К) и с2 = 4200 ДжДкг • К). Удельная теплота плавления льда

X = 3,35 • 105 Дж/кг. Испарением воды и потерями тепла пре-небречь.

Решение. Количество теплоты, отданное остывающим сосу-дом,

Qi = Cirn^t - tj

отрицательно, так как t <

На плавление льда пошло количество теплоты

Q2 = Хт2,

а на нагревание образовавшейся воды от 0 °С до температуры t — количество теплоты

Q3 = c2m2(t - t2).

Уравнение теплового баланса записывается в виде

Qi + Qz + Qs = О,

или

c^m^t - + Хт2 + c2m2(t - t2) = 0.

Откуда находим

X + c2(t - t2)

Задача З

В калориметре находится вода массой т1 = 400 г при температуре tx = 5 °С.

3,35 • 105 Дж/кг.

Решение. В этой и подобных ей задачах не следует торопиться составлять уравнение теплового баланса. Надо сначала вы-яснить, расплавится ли весь лед. Количество теплоты, которое выделяется водой при охлаждении до t0 = 0 °С, равно

Ql = Свт1 (h ~ t(>) + Свт2^2 - Ч) = 16 800 ДЖ-

Для нагревания льда до 0 °С требуется

Q2 = c2m2(t0 - f3) = 50 400 Дж.

Следовательно, лед может нагреваться до температуры плавления только за счет энергии, выделяющейся при замерзании воды. Для выделения недостающего количества теплоты Q3 = 33 600 Дж должна замерзнуть вода массой

Q3

m4 = -у =0,1 кг.

В результате в калориметре образуется смесь из 500 г воды и 500 г льда, находящихся при температуре 0 °С.

Задача 4

С какой скоростью должна лететь свинцовая пуля, чтобы, ударившись о преграду, расплавиться, если до удара темпера-тура пули была t = 127 °С? При ударе на нагревание пули затрачивается г) = 80% энергии пули (остальная энергия рассеивается в окружающее пространство). Удельная теплоемкость свинца с = 120 ДжДкг • К), температура плавления свинца tnn = 327 °С. Удельная теплота плавления X = 2,5-104 Дж/кг.

Решение. Кинетическая энергия летящей пули Ек = , где т — масса пули, v — ее скорость. На нагревание и плавле-

_ r\mv2

ниє пули затрачивается энергия Q = r\Eh = — .

С другой стороны, на нагревание и плавление пули должно быть затрачено количество теплоты, равное

Q = ст(іпл - t) + Хт.

Следовательно, согласно закону сохранения энергии

r\mv2 , ,

-4j— = cm(tnjI -t) + Xm.

Отсюда

Упражнение 7

Если тело обладает анизотропией, означает ли это, что оно обязательно является кристаллическим?

Сколько атомов приходится на одну ячейку в кристаллах с объемно-центрированной кубической структурой (см.

Сколько элементарных ячеек содержится в 1 см3 свинца? Кристаллическая решетка свинца гранецентрированная (см. рис. 8.9). Плотность свинца р = 11 300 кг/м3. Молярная масса свинца М = 0,207 кг/моль. Постоянная Авогадро Na = 6,02 • 10"23 моль'1.

Равные количества соли растворяют в двух одинаковых сосудах с водой. В одном случае соль берут в виде одного большого кристалла, а в другом — в виде порошка. В каком случае температура раствора после полного растворения соли будет выше, если до растворения соль и вода находились в обоих случаях при одинаковой температуре?

Вода в стакане замерзает при О °С. Если же эту воду расчленить на маленькие капельки, то вода в них может быть переохлаждена до -40 °С. Так, например, капельки воды, из которых состоят облака, обычно начинают замерзать при температуре ниже -17 °С. Как объяснить этот факт?

Какая температура установится в латунном калориметре массой т1 — 160 г, содержащем т2 = 400 г воды при температуре t1 = 25 °С, после того как расплавится помещенный в воду кусок льда массой /п3 = 50 г, взятый при температуре t2 = 0 °С? Удельные теплоемкости латуни и воды равны соответственно с1 = 380 ДжДкг • К) и с2 = 4,2 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда X — 3,34 • 105 Дж/кг.

В калориметре находится лед. Определите теплоемкость калориметра, если для нагревания его вместе с содержимым от 270 до 272 К требуется количество теплоты, равное = 2100 Дж, а от 272 до 274 К — количество теплоты, равное Q2 = 69 700 Дж. Удельные теплоемкости льда и воды равны соответственно с1 = 2,1 • 103 ДжДкг • К) и с2 = 4,2 ¦ 103 ДжДкг • К). Удельная теплота плавления льда X = 3,34-105 Дж/кг.

В массивный алюминиевый сосуд, нагретый до температуры tl = 300 °С, положили лед массой т2 = 0,25 кг при темпера-туре t2 = 0 °С. Когда температура сосуда сравнялась с температурой его содержимого, оказалось, что в сосуде находится вода массой mz = 0,24 кг при t3 = 100 °С. Какова масса сосуда? Удельная теплоемкость алюминия с1 = 800 ДжДкг ¦ К), удельная теплоемкость воды с2 = 4, 2 • 103 ДжДкг - К).

Осторожно охлаждая 0,5 кг воды, удалось довести ее температуру до -8 °С. Какое количество льда образуется, если бросить в воду маленький кусочек льда? Удельная теплота плавления льда X = 3,34 • 105 Дж/кг. Считать удельную теп-лоемкость переохлажденной воды такой же, как и обычной воды, т. е. с = 4,2 • 103 ДжДкг • К).

В сосуде, из которого быстро выкачивают воздух, находится небольшое количество воды при 0 °С. За счет ин-тенсивного испарения происходит постепенное замораживание воды. Какая часть первоначального количества воды может быть обращена таким образом в лед при 0 °С? Удельная теплота плавления льда при 0 °С равна Х = 3,34-105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды при 0 °С г = 2,5 • 106 Дж/кг.

В воду объемом 1 л при 20 °С бросили комок мокрого снега массой 250 г. Когда весь снег растаял, то общая температура стала равной 5 °С. Определите количество воды в комке снега.

Сосуд со 100 г воды при температуре 0 °С был подвешен посредине комнаты. Через 15 мин температура воды в нем поднялась до 2 °С. Когда же в сосуде находилось равное по массе количество льда, то лед растаял за 10 ч. Можно ли по этим данным оценить удельную теплоту плавления льда X?

Лед массой 100 г при температуре 0 °С помещен в тепло-непроницаемую оболочку и подвергнут сжатию до давления р = 1200 атм. Найдите массу растаявшей части льда, если понижение температуры плавления происходит прямо пропорционально давлению и при увеличении давления на 138 атм температура плавления понижается на 1 °С.

В теплоизолированном сосуде содержится смесь воды массой тх = 500 г и льда массой т2 — 54,4 г при температуре fj = 0 °С. В сосуд вводится насыщенный пар массой т3 = 6,6 г при температуре t2 = 100 °С. Какой будет температура t после установления теплового равновесия? Удельная теплота парообразования воды г = 2,3 • 106 Дж/кг, удельная теплота плавления льда X = 3,34 • 105 Дж/кг, удельная теплоемкость воды с = 4,2 ¦ 103 ДжДкг • К).

Два одинаковых кусочка льда летят навстречу друг другу с равными по модулю скоростями и при ударе обращаются в пар. Оцените минимально возможные скорости льдинок перед ударом, если их температура равна -12 °С. Удельная теплоемкость льда с = 2,1 • 103 ДжДкг • К). Удельная теплота плавления льда при 0 °С X = 3,34 • 105 Дж/кг.