§4.9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на применение молекулярно-кинетиче- ской теории идеального газа используются основное уравнение кинетической теории газов в форме (4.4.9) или (4.4.10) и вытекающие из него выражения для средней кинетической энергии молекул (4.5.5) и средней квадратичной скорости (4.7.2) или (4.7.3).

Задача 1

Чему равна масса газа, содержащегося в закрытом цилиндре вместимостью V = 0,5 л, если давление газа р = 5 • 105Па, а средняя квадратичная скорость молекул v = 500 м/с?

Решение. Согласно основному уравнению молекулярно- кинетической теории

1 "1 1 р= 2monv = зРу »

т.

где р = т0п — плотность газа. Но р = у , где т — масса газа, а V — его объем. Поэтому

1 пг —S

P=SVV'

Откуда

т^Щ- =3-10"3 кг.

V2

Задача 2

В воздухе при t = 27 °С взвешены пылинки сферической формы. Радиус пылинок г= 10~6м. Плотность вещества пыли-нок р = 1,3- 103кг/м3. Определите средний квадрат скорости пылинок.

Решение. Пылинки принимают участие в броуновском движении. Средний квадрат скорости пылинки

где т6 — масса пылинки. Следовательно,

Задача 3

В сосуде находится 1 л воды при температуре 27 °С. Каким стало бы давление внутри сосуда, если бы силы взаимодействия между молекулами внезапно исчезли?

Решение. При исчезновении сил взаимодействия между мо-лекулами вода превратилась бы в идеальный газ. Давление можно найти по уравнению состояния идеального газа:

т RT 1 ОТЛ

Р= m^V = 1370 атм-

Задача 4

Два сосуда, содержащих различные газы, соединены трубкой с краном. Давление газа в первом сосуде pv а число молекул Давление газа во втором сосуде р2, число молекул N2.

Решение. Согласно формуле (4.5.6)

рх = nxkT и р2 = п2кТ,

где

п1 ~ ТГ . п2 ~ у v 1 2

(здесь V1 и V2 — объемы сосудов). Следовательно,

PlVx = NtkT, p2V2 = N2kT.

После того как кран будет открыт, давления выравняются и искомое давление согласно той же формуле (4.5.6) определится уравнением

p(V1 + V2) = (N1+N2)kT.

Подставляя сюда выражения для объемов из предыдущих формул, получим

= PlP2(Nl + N2)

Р PiN2+p2Nl

Задача 5

Плотность газа в баллоне газополной электрической лампы р = 0,9 кг/м3. При горении лампы давление в ней возросло с рх = 8 • 104 Па до р2 = 1,1 ¦ 105 Па. На сколько увеличилась при этом средняя квадратичная скорость молекул?

Решение. Плотность газа р = тп0п, и основное уравнение мо- лекулярно-кинетической теории можно записать в форме

Поэтому

откуда

D2 _ "l = J^ (Л>2 ~ Jp~l) = 90 M/C-

Упражнение 3

При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, что и молекулы азота при температуре 100 °С?

На стенку площадью S налетает поток молекул со средней скоростью v. Число молекул, движущихся по направлению к стенке, в единице объема п0, масса каждой молекулы т0. Найдите действующую на стенку силу и давление, если молекулы движутся перпендикулярно стенке и удары молекул о стенку абсолютно неупругие.

Какое давление на стенки сосуда производит водород, если число молекул в 1 см3 равно 4,1 • 1018, а средняя квадратичная скорость его молекул 2400 м/с?

Определите число молекул кислорода в 1 м3, если давление равно 77 кПа, а средняя квадратичная скорость его молекул 400 м/с.

Определите плотность газа, молекулы которого производят на стенки сосуда давление 1,6 • 105Па. Средняя квадратичная скорость молекул 800 м/с.

Какова средняя квадратичная скорость молекул газа, который занимает объем 1,3 м3 при давлении 5 ¦ 104 Па? Масса газа 60 г.

В цилиндре вместимостью 1,2 л содержится газ под давлением 105Па.

Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом F0 при повышении температуры от Т1 до Т2? Атмосферное давление равно р0.

Плотность смеси азота и водорода при температуре t — 47 °С и давлении р = 2 атм равна р = 0,3 г/л. Найдите концентрации молекул азота и водорода в смеси. Ампула объемом V = 1 см3, содержащая воздух при нор-мальных условиях, оставлена в космосе, где давление можно считать равным нулю. В ампуле проделано отверстие. Через какое время давление в ампуле станет равным нулю, если считать, что через отверстие каждую секунду вылетает 100 млн молекул?

При повышении температуры идеального газа на 150 К средняя квадратичная скорость его молекул возросла с 400 до 500 м/с. На сколько надо нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость его молекул от 500 до 600 м/с?

Изменится ли внутренняя энергия идеального газа при его изотермическом сжатии?

Одноатомный газ, находящийся при постоянном давлении р = 2-Ю6Па в цилиндре под поршнем площадью S = 160 см2, нагревается так, что поршень перемещается на расстояние Ah = 15 см. Найдите изменение внутренней энергии газа.