<<
>>

Случайные величины

Случайной величиной (СВ) Х называется действительная функция X = X(w), определенная на множестве элементарных исходов W, такая, что для любого действительного x множество тех w Î W, для которых X(w) < x, принадлежит полю событий W(W).

СВ принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами.

Различают СВ дискретного типа (сокращенно СВДТ) и СВ непрерывного типа (сокращенно СВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика. СВ называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовой оси. Например, время до отказа прибора (время “жизни” прибора) или погрешность измерения.

Для полного задания СВ необходимо указать множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями xi (или некоторыми подмножествами) и вероятностями pi, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения СВ. Например, для СВДТ достаточно указать зависимость pi = P{X = xi} или таблицу следующего вида:

Возможные значения СВ Х x1 x2 ... xn
P{X = xi} = pi > 0; (p1 + p2 + ... + pn = 1) p1 p2 ... pn

Для СВНТ такие способы не годятся, поэтому ставят в соответствие вероятности не отдельные значения СВ, а множество значений (X < x), где x - произвольное число. Этот способ годится для СВДТ и для СВНТ.

Функцией распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называется числовая функция F(x) = P{X < x}, определенная для любых x Î R.

Свойства ФР:

1. 0 £ F(x) £ 1;

2. F(x1) £ F(x2), если x1 < x2, т.е. F(x) - неубывающая функция;

3.

4. P{a £ X < b} = F(a) - F(b).

Плотностью распределения (ПР) (или дифференциальным законом распределения) СВ X называется числовая функция f(x), равная производной от ФР, если такая производная существует: f(x) = F¢(x). Связь между ПР и ФР можно представить в интегральной форме:

что позволяет определить ФР:

Свойства ПР:

1. f(x) ? 0, т.к. ФР - неубывающая функция;

2. - условие нормировки.

Задача №1. Могут ли функции j(x) и y(x) являться ФР или ПР некоторой СВ X, если “да”, то при каком значении l?

а) j(x) = б) y(x) =

<< | >>
Источник: Ответы по теории вероятности. 2017

Еще по теме Случайные величины:

  1. Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому)
  2. 1.1. Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях
  3. Свойства дисперсии случайной величины
  4. Случайные величины.
  5. Система случайных величин.
  6. Зависимые и независимые случайные величины.
  7. §10. Дискретные случайные величины и их характеристики
  8. Случайные величины
  9. Многомерные случайные величины
  10. Смешанные случайные величины
  11. 3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
  12. 3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
  13. 5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
  14. 5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
  15. Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
  16. а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  17. а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины