Дифференциальные уравнения семейства кривых
Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением 
.
Фиксируя значение параметра 
, получают конкретную линию данного семейства.
Например, уравнение 
определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси 
. Придавая параметру значения, получают параболы 
.
Дифференцируя уравнение семейства линий по 
(считая 
функцией от ):
и исключая параметр , приходят к дифференциальному уравнению вида 
, которому удовлетворяет любая линия данного семейства.
Пример 2. Из семейства окружностей 
выделить ту, которая проходит через точку 
. Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра 
. Так как искомая окружность проходит через точку 
, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя 
, получим 
. Искомое уравнение имеет вид: 
.
Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по :
или 
. 7.3