<<
>>

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

y

0 x

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D.

Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D – площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi ? Dyi .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что Si = Dxi ? Dyi получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Двойные интегралы.:

  1. § 68. Двойной интеграл
  2. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  3. БЕСПРЕДЛОЖНО­ПРЕДЛОЖНОЕ ДВОЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
  4. РАЗДЕЛ II ФОНЕТИКА СОВРЕМЕННОГО РУССКОГО ЯЗЫКА
  5. Содержание дисциплины
  6. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  7. Кратные интегралы.
  8. Двойные интегралы.
  9. Замена переменных в двойном интеграле.
  10. Замена переменных в тройном интеграле.
  11. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
  12. Поверхностные интегралы первого рода.
  13. Поверхностные интегралы второго рода.