2.6. Вычеты функций и их применение

Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.

2.6.1. Теорема Коши о вычетах

Пусть – изолированная особая точка функции .

. (1)

Коэффициент в разложении (1) называется вычетом функции в изолированной особой точке . Он обозначается как

. (2)

Теорема Коши. Если регулярна в области всюду, за исключением внутренних точек , то интеграл от функции , взятый по контуру области в положительном направлении, равен произведению на сумму вычетов в точках :

.

○ Исключим точки , окружив их достаточно малыми окрестностями с границами (см. рисунок).

В оставшейся области (она закрашена серым) удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы Коши, следовательно,

(4)

(здесь у контуров поставлен минус, т.к. обход окружностей осуществляется в отрицательном направлении – область остаётся справа).

Но в окрестности ряд Лорана для :

, (5)

и, интегрируя почленно, получаем:

.

В этом интеграле все члены, кроме содержащего , равны нулю (см. п.2.4.4), а

. (6)

Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3). ●

2.6.2. Вычисление вычетов

1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности имеет место разложение

.

Умножим обе части этого равенства на :

. (8)

Устремим , тогда переходя к пределу, получаем

. (9)

Выражению (9) можно придать другой вид, если представить , где – регулярные в функции, причём , а имеет простой корень. Тогда и, по правилу Лопиталя

. (10)

2. Пусть теперь – полюс порядка , т.е. ряд Лорана функции :

. (11)

. Умножим обе части этого равенства на и продифференцируем по раз:

и устремим

, (12)

откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,

.

Пример 1. ? Найти вычеты в изолированных особых точках.

? Полюсы функции расположены в точках, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. их можно найти, решив уравнения и . Корни второго уравнения: – простые полюсы, а корень первого уравнения – полюс второго порядка (он равен степени разности ). По формуле (6.9 из Учебного пособия) находим:

Аналогично, найдём, что . В полюсе второго порядка по (13)

. ■

2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке

Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки функция представима рядом Лорана

. (14)

Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени в разложении (14):

.

Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции .

? Разложение в степенной ряд справедливо при любом . Тогда . ■

Теорема. Если имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов её, включая вычет в бесконечно удалённой точке, равна нулю, т.е.

. (16)

2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов

Если регулярна в односвязной области , то по теореме Коши интеграл от неё по любому замкнутому контуру в равен нулю: .

Основная теорема о вычетах: если непрерывна на границе области , за исключением конечного числа особых точек , то

. (17)

Для вычисления этого интеграла необходимо:

1. Определить контур интегрирования и сделать его рисунок.

2. Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек.

3. Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.

Пример 1. Найти несобственный интеграл ( – вещественная переменная).

? Рассмотрим интеграл от ФКП , где – комплексная переменная, – отрезок вещественной оси, – полуокружность радиуса . Вычислим с помощью вычетов.

Подынтегральная функция имеет полюсы второго порядка в точках . Пусть достаточно велико, так что попадает внутрь контура (см. рисунок). Тогда для полюса второго порядка, который изображен на рисунке

Следовательно, . С другой стороны, , а последний интеграл , и, значит, . ■

Вопросы для самопроверки по теме 2.6

1. Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции ?

2. Сформулируйте теорему Коши о вычетах.

3. Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка и в БУТ.

4. Чему равна сумма вычетов функции , имеющей конечное число особых точек?

Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.