§ 2.10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В задачах на материал предыдущих параграфов главы используется закон Ома (2.4.3), а также формулы (2.4.6), (2.5.1) и (2.5.2) для зависимости сопротивления от свойств проводника и температуры.

При решении задач на работу и мощность тока надо применять формулы (2.7.1)—(2.7.7).

одинаково напряжение на всех проводниках.

При решении задач на электрические цепи постоянного тока надо, как правило, нарисовать схему цепи и выяснить, какие проводники соединены между собой последовательно, какие — параллельно, и воспользоваться необходимыми формулами для последовательного и параллельного соединения проводников (2.8.3)—(2.8.15).

В более сложных случаях, когда в схеме невозможно выделить последовательно и параллельно соединенные проводники, следует попытаться найти точки с одинаковыми потенциалами. Эти точки можно или разъединить, исключив соединяющие их проводники, или соединить в общий узел. Токи в электрической цепи от этого не изменятся, так как между такими точками ток не идет. Точки с равными потенциалами легко найти в схемах, обладающих симметричными контурами. После соединения или разъединения точек с равными потенциалами обычно получается эквивалентная схема, состоящая из последовательно и параллельно соединенных проводников.

Однако встречаются сложные схемы, в которых не существует точек с одинаковыми потенциалами. Решение таких задач требует некоторой изобретательности (см. решение задачи 9).

Задача 1

Плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами (сторона пластины а = 20 см) равномерно погружается в жидкий диэлектрик (е = 3,3) так, что пластины оказываются перпендикулярными уровню жидкости.

Найдем изменение заряда Aq на одной из пластин конденсатора за время At полного его погружения в диэлектрик.

Решение. Сила тока, согласно формуле (2.2.3), равна:

В момент начала погружения заряд на пластине конденсатора

2

e0S Е0О U

где ?0 = 8,85 • 10 Ф/м — электрическая постоянная. В конце погружения заряд на пластине конденсатора

2тт

ге0а и

42 = C2U=—d

2тт

е0а и

Следовательно, Ад = д2 - gt = —^— (є - 1). Время погружения

At-2.

v

Отсюда

A a ?0(?-l)avU I=ft=JL—d ~ 8,2 • Ю-8А.

Задача 2

Удельное сопротивление графитового стержня от каранда- шар = 4 • Ю-4 Ом • м. Чему равна сила тока 1в стержне, если к его концам приложено напряжение U = 6 В? Длина стержня I = 20 см, его диаметр d = 2 мм.

Решение. По закону Ома (2.4.3) / = ^, где R = р^ . Площадь поперечного сечения стержня S = . Следовательно,

R-Щ.

nd

Значит,

0,24 А.

4р I

Задача 3

Два проводника с температурными коэффициентами сопротивления (Xj и а2 имеют при 0 °С сопротивления Д01 и RQ2. Чему равен температурный коэффициент сопротивления провод- ника, составленного из двух данных проводников, соединенных: а) последовательно; б) параллельно?

Решение. Согласно соотношению (2.5.1) сопротивления проводников при температуре t соответственно равны:

Ri = Hold + а1*>' R2 = -М1 +

а) При последовательном соединении, согласно формуле (2.8.6), общее сопротивление

R = Rx+ R2 = Д01 + Д02 + (O^-RQ! + otg^W*- С другой стороны, можно написать:

Д = Д0( 1 + a't),

где rq = RQ1 + і?02, а a' — искомый температурный коэффициент. Отсюда

= д01а1 + д02а2 ¦L R01 + R02

б) При параллельном соединении, согласно формуле (2.8.13), общее сопротивление

= Д01Д02(1+ 040(1 + 0^) Д01(1 + а^) + Д02(1 + а2і) +

^01^02

где Д„ = о—, в — сопротивление параллельно соединенней + Л02

ных проводников при О °С.

= Д02«1 + Д01а2

Д01 + В02

Задача 4

Линия электропередачи имеет сопротивление Д = 250 Ом. Какое напряжение должно быть на зажимах генератора для того, чтобы при передаче по этой линии к потребителю мощности Р = 25 кВт потери в линии не превышали |3 = 4% передаваемой потребителю мощности?

Решение. Передаваемая мощность

P = IU, (2.10.1)

где I — сила тока в линии, a U — искомое напряжение. Потери мощности в линии электропередачи

Лю-рь-^-РПЛ (2.10.2)

С другой стороны,

^поТерь = '2Д- (2.10.3) Из равенств (2.10.2) и (2.10.3) находим:

R '

(2.10.4)

Подставляя найденное значение силы тока в выражение для передаваемой мощности (2.10.1), получим: IPR

[/ =

= 12500 В = 12,5 кВ.

Р Задача 5

Три нагревательных прибора мощностью Рг = 50 Вт, Р2 = = 25 Вт и Р3 = 50 Вт, рассчитанные на напряжение U = 110 В каждый, соединены, как показано на рисунке 2.30, и включены в сеть с напряжением иг = 2U = 220 В. Определите мощность, выделяемую каждым нагревательным прибором.

Рис. 2.30

Решение. Номинальные мощности приборов, согласно формуле (2.7.7), равны соответственно:

и и и

р = —-— . р = _.р = _

R,

Ro

Г 1 ™ » Г 9. Д ' Я о '

Отсюда находим сопротивления приборов (в рабочем состоянии):

и2 и2 и2

ту _ . ту _ . ту _ > 2 р2 ' п3 рз '

Если не учитывать изменение сопротивления приборов при их работе, то общее сопротивление всех нагревательных приборов

, Д2д3 = и\Рх +р2 + Р3)

+ R2 + R3 P^Pz + PS) •

Сила тока в цепи (и в нагревательном элементе) 2рг(р2 + Р3)

r

щрг+ р2 + р3) • Мощность P'v выделяемую прибором 1, удобно найти по формуле (2.7.6):

4р,(р2 + Р3)2

Р\ = I2R, = —— —9 = 72 Вт.

(Рх+Рг + Рд)2

Напряжение на нагревательных элементах 2 и 3 по закону Ома равно:

U2,3 = IR2,3 = ir~tr3 • Теперь найдем мощность, выделяемую приборами 2 и 3: i2r2r3

(r2 + r3)2

2,3

2

Р'о =

= 16 Вт.

4PiP3

(Рх + Р2 + Р3)

= 32 Вт.

(Рх + Р2 + р3Г Задача 6

В цепи, схема которой изображена на рисунке 2.31, сопротивления всех резисторов известны и равны соответственно Rx = 2 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 2 Ом, R4 = 40 Ом, Д5 = 10 Ом.

Решение. Решение задачи значительно облегчается, если приведенную на рисунке 2.31 схему заменить эквивалентной (рис. 2.32). r1

Рис. 2.31

>1

r2

>

r4

r5

r3 В задачах на сложное соединение большого количества резисторов расчеты в общем виде можно не производить. Проще для каждой величины сразу получать числовой ответ. Найдем силу тока в резисторе R5. Она равна напряжению на разветвлении 4—5, деленному на R5:

= 74д4 0,5 А • 40 Ом . 5 д5 10 Ом г '

I3 = h + Ib = 2t5A.

RaRC 40 • 10

Лз,4,5 - + д^ = 2 Ом + ^^ Ом = 10 Ом. Отсюда

_ 7здз,4,5 _ 2,5 А • 10 Ом _ с А ~ Д2 5 Ом _&А-

I1=I2 + I3 = 7,5 А.

Напряжение на зажимах цепи

U = /^ + I2R2 = 7,5 А • 2 Ом + 5 А • 5 Ом = 40 В.

Итак, 11 = 7, 5 А; 12 = 5 А; /3 = 2,5 А; /5 = 2 A; U = 40 В.

Задача 7 -о о- U и0

На рисунке 2.33 изображена схема потенциометра (делителя напряжения) — устройства, предназначенного для получения плавно изменяемого напряжения U от источника постоянного напряжения UQ (U < UQ). Сопротивление потенциометра Rq = 4 кОм, напряжение U0 = 220 В. Определите напряжение U на нагрузке (потребителе), сопротивление которой R = 10 кОм, когда скользящий контакт D установлен посередине проводника АВ.

,В D

R

Рис. 2.33

Решение. В цепи имеются два последовательно соединенных участка: участок AD, состоящий из половины проводника АВ (сопротивлением Rq/2) и нагрузки (сопро- тивлением R), соединенных параллельно, и участок DB сопро-тивлением Rq/2. Сопротивление участка AD равно:

-у 2 До*

tt. г, —

ad r Rn + 2R'

+ R

Общее сопротивление цепи:

р = р , ^о = 2rad + до кав ad + 2 2

Сила тока в цепи:

Un 2U,

о

I

rab 2rad + до '

Искомое напряжение

2UnRAn 2UnR

Задача 8

Найдите сопротивление шестиугольника, изображенного на рисунке 2.34, если напряжение подведено к точкам А и В.

Решение. Заменим первоначальную схему (см. рис. 2.34) эк-вивалентной схемой (рис. 2.35). Допустимость такой замены можно обосновать следующим образом. Ввиду симметрии схемы (см. рис. 2.35) относительно оси (прямой) АВ потенциалы в точках и с2 одинаковы (фх = ф2). Поэтому эти точки можно соединить в одну точку С и получить таким образом исходную схему (см. рис. 2.34).

Сопротивление цепи по схеме рисунка 2.35 легко вычислить.

Д • 2R

Верхняя ветвь обладает сопротивлением R1 = R-і ^— + R =

g

= д R. Таково же сопротивление нижней ветви. Сопротивление средней ветви Д2 = 2R. Согласно формуле (2.8.11) имеем:

Д 8/3 R 2R 8/3 Д

Отсюда

RX=lR-

Задача 9

Определите общее сопротивление rq цепи, схема которой изображена на рисунке 2.36.

Решение. Зададим (произвольно) направления токов в ветвях (см. рис. 2.36). Запишем по первому правилу Кирхгофа уравнения для узлов А, В и D:

10 = + /2 (для узла А); /4 = + 13 (для узла В); 12 = І3 +1ъ (для узла D),

где IQ, Ilf ..., I5 — модули сил токов в неразветвленной части цепи и в отдельных ветвях. В

-г- гН н зд т д IN 2Л і I Ч -І- н R D зд Рис. 2.36

Еще два уравнения можно записать, пользуясь тем, что па-дения напряжений на участках АВ и DC соответственно равны сумме падений напряжений на участках AD и DB, DB и ВС: и

Фл _ Фв = Фа ~ + ~ Фв

Фд - фс = - фв + фв - фс, или 2 R,

3 R = I2R + 73 3 R = h

2R + I4R.

15 J3

В итоге мы получили систему уравнений: /г + 72 = 70, <

(2.10.5)

h + h = h, 37г-72 = 74 + 273

273, ¦315.

Искомое сопротивление тг0 можно определить, пользуясь тем, что разность потенциалов между точками (узлами) А и С равна либо 7отго, либо 7г • 37Ї + I^R, так как фд - фс = фд - фв + фв - фс. Таким образом,

70тг0 = (37г + 74)тг. Решая систему уравнений (2.10.5), найдем, что

371+74 = 470-

Следовательно, W

Iv*- Отсюда тг0 = ^ тг.

Задача 10

В схеме, изображенной на рисунке 2.37, сопротивления резисторов, емкость конденсатора и напряжение на зажимах цепи известны.

Решение. При расчете цепей постоянного тока, содержащих конденсаторы, следует обратить внимание на то, что постоян- 2 R

3 R

2Д

>1

гС

R

зд

I

ч:

4 Д -о U о-

Рис. 2.37

4Д

Рис. 2.38 ный ток через конденсатор не проходит. Поэтому режим данной цепи не изменится, если конденсатор из нее исключить. После этого получим схему, изображенную на рисунке 2.38.

Чтобы найти заряд на конденсаторе, надо найти разность потенциалов на его обкладках: фа - фв. Из рисунка 2.37 видно, что

%-% = %~% + %-% = иа6+ U6e ¦

Общее сопротивление цепи

5Д ¦ 4 Д _ 29 в0~в+ —QR ~9~ /= Е. = ди

Дп

29Д- 9

Сила тока в цепи равна: Отсюда

U.

29

иаб=т

Напряжение на участке бг\ 20

ибг = и-иаб=^и.

Сила тока в верхней ветви участка бг, равная силе тока в резисторе сопротивлением 2Д, определится так:

ия

29Д'

817

= 4U

бег 5В

U.

2 Д =

бв

Отсюда

29

бег и

U = — U + —U

иае 29 29 29 ' I-VJZ-^CU.

Заряд на конденсаторе

тт п =

29

Задача 11 Измерительный прибор с внутренним сопротивлением Rq = 75 Ом имеет шкалу на п = 150 делений. Цена деления UQ = 10 мВ/дел. Как этим прибором измерить: а) силу тока до / = 1,5 А; б) напряжение до U = 750 В?

Решение, а) Для того чтобы измерительный прибор превратить в амперметр, надо параллельно прибору включить шунт. Рассчи-таем его сопротивление. Предел измерительного прибора по напряжению равен U — nUQ, а по силе тока, согласно закону Ома,

= nUo п Д0 '

Число, показывающее, во сколько раз надо расширить предел измерения прибора, чтобы измерять им силу тока I, равно:

I _ IRp

In nU0 •

Согласно соотношению (2.9.2)

_ До nU0R0

п,„ —

Ш IR0 IR0 - nU0'

nU0

Итак, для измерения силы тока до I = 1,5 А надо параллельно прибору включить шунт сопротивлением

nUf.Rf.

Лш=7Д^1Г0=1'010м-

б) Для использования измерительного прибора в качестве вольтметра для измерения напряжения до U = 750 В надо, согласно соотношению (2.9.4), последовательно с прибором включить дополнительный резистор сопротивлением

- 1 |~37 400 Ом.

Упражнение 5

Определите плотность тока j в проводнике длиной I = 10 м с удельным сопротивлением р = 5,5 • 10~7 Ом ¦ м, если на-пряжение на его концах U = 10 В.

Двум одинаковым плоским конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен заряд q. В момент времени t = 0 расстояние между пластинами первого конденсатора начинает равномерно увеличиваться по закону = dQ + vt, а расстояние между пластинами второго — равномерно уменьшаться по закону d2 — d0 - vt. Пренебрегая сопро-тивлением подводящих проводов, найдите силу тока в цепи во время движения пластин конденсаторов.

Какой заряд прошел через поперечное сечение проводника, если известно, что сила электрического тока в этом проводнике равномерно увеличилась от нуля до I = 5 А за t = 10 с?

При включении в электрическую цепь проводника диаметром d = 0,5 мм и длиной I = 470 мм разность потенциалов на концах проводника оказалась равной U = 1,2 В при силе тока в цепи I = 1 А. Определите удельное сопротивление р материала проводника.

Для измерения температуры применили железную проволоку, имеющую при температуре t = 10 °С сопротивление R = = 15 Ом. При некоторой температуре tx сопротивление ее стало Rl = 18 Ом. Определите эту температуру, если температурный коэффициент сопротивления железа а = 0,006 К-1.

Падение напряжения на единицу длины вольфрамовой нити накаливания горящей электролампочки AU = 300 В/м; диаметр нити d = 6 • Ю-2 мм. Найдите силу тока в нити, если ее температура t = 2000 °С. Удельное сопротивление вольфрама при 0 °С р0 = 5,5 • Ю-7 Ом * м. Температурный коэффициент сопротивления а = 0,0046 К-1.

Почему при включении в сеть нагревательного прибора большой мощности (например, электрокамина) накал лампочек в квартире сразу же заметно падает, а через небольшой промежуток времени увеличивается, достигая примерно прежней яркости?

Электрическую плитку, рассчитанную на напряжение 220 В, требуется переделать, не меняя и не укорачивая спирали, на 110 В так, чтобы ее мощность осталась прежней. Что нужно для этого сделать?

Лифт массой тп = 1,4 т равномерно поднимается на высоту h — 20 м. Определите время подъема, если известно, что сила тока в электродвигателе лифта I = 40 А при напряжении на его зажимах U = 220 В. КПД двигателя т| = 90%.

Какую массу льда, имеющего температуру t = -10 °С, можно растопить за время т = 10 мин в электрокипятильнике, работающем от сети напряжением U = 220 В при силе тока I = 3 А? Коэффициент полезного действия элек-трокипятильника т| = 80%. Удельная теплоемкость льда с = 2,1 • 103 ДжДкг • К), удельная теплота плавления льда ^.= 3,35 • 105Дж/кг.

Сколько витков никелиновой проволоки надо навить на фарфоровый цилиндр диаметром d1 = 1,5 см, чтобы изготовить кипятильник, в котором за время т = 10 мин закипает вода объемом V = 1,2 л, взятая при температуре t = 10 °С? КПД установки Г) = 60%; диаметр проволоки d2 = 0,2 мм; напряжение сети U = 100 В. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 • 103 Дж/(кг • К); удельное сопротивление никелина р= 4,2 • Ю-7 Ом • м.

Какого сечения надо взять медный провод для устройства линии электропередачи от электростанции до потребителя, расположенного на расстоянии 1 = 1 км, чтобы передать потребителю мощность Р = 8 кВт? Напряжение на станции U = 130 В, допустимая потеря напряжения на линии (3 = 8%. Удельное сопротивление меди р = 1,7 • Ю-8 Ом • м.

Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в нем закипает через промежуток времени tj = 10 мин, а при включении другой — через t2 = 15 мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если обе обмотки включить одновременно: а) парал-лельно; б) последовательно?

Найдите сопротивление цепи, схема которой изображена на рисунке 2.39. Сопротивлением соединительных проводов АС С и BC"D пренебречь.

С" r с р

і 1 ° і 1 н И Н С'

Рис. 2.39

-ouo- R1

R2

IH

Rl

Рис. 2.40

9-С

D С*ВІА

R2

R3

V

Рис. 2.42

U

Рис. 2.41

Когда ключ S замкнут, сопротивление участка цепи, схема которой изображена на рисунке 2.40, равно = 80 Ом. Определите сопротивление R2 этого участка цепи при ра-зомкнутом ключе. Сопротивлением соединительных про-водов пренебречь.

В цепи, схема которой представлена на рисунке 2.41,

= 10 Ом, R2 = 40 Ом; приложенное к зажимам цепи напряжение U = 120 В. Определите сопротивление резистора R3, если сила тока в нем 13 = 2 А.

17.

Сопротивление делителя напряжения (потенциометра) R1 = 80 Ом (рис. 2.42). Сопротивление нагрузки R2 = 100 Ом. Напряжение на зажимах потенциометра U = 50 В. Какими будут показания амперметра и вольтметра, если движок потенциометра поочередно устанавливать в точках А,

18.

В, С и D? Ддз = | Rv Rac = I Rv Сопротивлениями амперметра и соединительных проводов пренебречь, а сопротивление вольтметра считать бесконечно большим. Какое сопротивление г необходимо включить между точками С и D (рис. 2.43), чтобы сопротивление всей цепочки (между точками А и В) не зависело от числа элементарных ячеек? R г

R

л R R R

R

R

R

R Ї

Ї В

R

R

R

R D Рис. 2.43 19. Найдите сопротивление RQ тетраэдра (правильной тре-угольной пирамиды), изготовленного из шести проволочек сопротивлением R каждая. Подводящие провода при-соединены к любым двум вершинам тетраэдра.

Найдите сопротивление RQ проволочного куба при включении его в цепь между точками А и В (рис. 2.44). Сопротивление каждого ребра куба равно R.

Найдите сопротивление R0 пятиконечной звезды, показанной на рисунке 2.45, все участки которой обладают одинаковым сопротивлением г. Подводящие провода присоединены к точкам А и К.

R1

R2

R3

т

и

Г.

Каков заряд пластин конденсатора С в | [ | цепи, схема которой изображена на рисунке 2.46? Сопротивления резисторов RI, R2 и R3 и напряжение U считаются известными.

Рис. 2.46

Предел измерения миллиамперметра с внутренним сопротивлением R = 150 Ом равен I = 10 мА. Какой длины I нужно взять манганиновую проволоку диаметром d = 0,1 мм в качестве добавочного резистора, чтобы использовать этот миллиамперметр как вольтметр с пределом измерения U = 10 В? Удельное сопротивление манганина р= 4,2 • Ю~7Ом • м.

Если вольтметр соединить последовательно с резистором сопротивлением R = 10 кОм, то при напряжении в цепи U = 120 В он покажет U1 = 50 В. Если соединить его после-довательно с резистором неизвестного сопротивления, то при том же напряжении он покажет U2 = 10 В. Чему равно неизвестное сопротивление?

25. Для определения напряжения на резисторе R к концам его подключают вольтметр. Какая относительная ошибка 5 будет допущена, если показания вольтметра принять за то напряжение, которое было на резисторе до включения прибора? Сила тока в цепи постоянна. Сопротивление вольтметра Rn.