§ 4.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач с использованием неинерциальных систем отсчета применяются те же правила, что и при решении задач на динамику в инерциальных системах отсчета. Появляются лишь дополнительные силы — силы инерции.

Нужно иметь в виду, что любую задачу можно решить, используя инерциальную систему отсчета. Использование неинерциальных систем отсчета диктуется соображениями простоты и удобства решения задач в этих системах.

Задача 1

К потолку лифта, поднимающегося с ускорением а — 1,2 м/с2, направленным вверх, прикреплен динамометр. К динамометру подвешен блок, свободно вращающийся вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m.j = 200 г и т2 = 300 г. Определите показания динамометра. Массой нити и блока пренебречь.

Решение. Будем рассматривать движение относительно неинерциальной системы, связанной с лифтом. Вертикальную ось Y направим вверх (рис. 4.9). Действующие на грузы силы

изображены на этом рисунке. Кроме сил тяжести mg и m2g

—* —»

И СИЛ натяжения нитей Тj и Т2, действуют силы инерции

Так как нить и блок невесомые, то Ту = Т2 = Т и на блок со стороны нити действует сила, равная 2Т, направленная вниз. Сила, действующая на блок со стороны динамометра, уравновешивает эту силу, поэтому показания динамометра равны 2 Т.

Запишем уравнения движения грузов: (4.5.1)

m1a1 = mg + Ту + m2a2 = m2g + Т2 + Fk2.

Ч 1 т2 Показания динамометра

ёу g,

а

от' ^2у ^от' 1 1 у

Т2у = Т. Уравнения (4.5.1) для модулей перепишутся так:

mxam = -mg + Т - тга,

-m2am = -m2g+T-m2a.

Решая эту систему уравнений, получим

и

іу

2171^2

Т =

(g + а).

тпл

4 тпуіп2

т, + піп

(g + а) = 5,3 Н.

2 Т =

Здесь а1 и а2 — ускорения грузов относительно лифта. Очевидно, что ускорение а.у направлено вверх, а ускорение а2 на-правлено вниз, так как m2 > mv Модули ускорений равны: at = а2 = аот. При по-ложительном направлении оси Y вверх

Рис. 4.10

Задача 2

На поверхности Земли на широте ф ле-жит груз массой т. (рис. 4.10). Радиус Земли ії3. Найдите силу нормального давления груза на Землю (вес груза) и силу трения покоя. Угловая скорость вращения Земли (й.

Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, на груз действуют три обычные силы: сила притяжения к Зем-ле, сила реакции опоры N (она равна по модулю и противоположна по направлению силе нормального давления на Землю, т. е. весу тела) и сила трения покоя F (эта сила препятствует скольжению груза от полюса к экватору). Кроме того, действует центробежная сила инерции FK = ma>2R, где R = R3cos ер — радиус окружности, по которой движется груз вместе с Землей относительно инерциальной системы отсчета. Все силы изображены на рисунке 4.10.

Начало системы координат, связанной с Землей, совместим с центром тела; ось У направим перпендикулярно поверхности Земли, а ось X — по касательной к поверхности.

Тело находится относительно Земли в покое. Поэтому сумма всех сил, действующих на него, равна нулю:

mg + N + FTp + FH = 0.

В проекциях на оси У и X это уравнение запишется так:

-mg + N + m(a2R3cos2

Отсюда

N = mg - ma>2R3cos2 tp, FTp = тою2Д3sin ф cos Ф = g /nco2fi3sin 2ф.

Вес тела

P = N = mg - m(?>2R3cos2 ф.

Из этих формул видно, что на полюсах Земли (ф = 90°) Р = mg. Это означает, что вес тела и сила тяжести равны по модулю. Сила трения на полюсе равна нулю. На экваторе (ф = 0°) Р = mg - - mti)2R3, т. е. вес меньше силы тяжести. Сила трения и на эквато-ре равна нулю.

Задача З

Тело находится в покое на вершине наклонной плоскости (рис. 4.11). За какое время тело соскользнет с плоскости, если плоскость в момент времени t0 = 0 начнет двигаться влево в горизонтальном направлении с ускорением а = 1 м/с2? Длина плоскости 1= 1м, угол наклона к горизонту а = 30°, коэффициент трения между телом и плоскостью ц = 0,6.

Решение. Координатные оси системы отсчета, связанной с плос-костью, направим вдоль плоскости и перпендикулярно ей (см. рис. 4.11). В этой системе отсчета, кроме силы тяжести mg, силы реакции опоры N и силы трения FTp, действует сила инерции FB.

Искомое время определится по Yy формуле пути при равноускоренном

о N , / Fu mg Рис. 4.11

движении без начальной скорости:

t =

от

Здесь аот — модуль ускорения тела относительно плоскости. Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета, связанной с плоскостью, запишется так:

mg + N + F +Fa = та

где

F„ = -та.

Уравнения для модулей проекций на оси координат X и Y имеют вид

N - mgcos а + masin a = 0, mgsin а - F „ + macos a = ma.

° тр от

Учитывая, что FTp = p2V, из этой системы уравнений найдем ус-корение аот:

аот = g(sin а - pcos а) + a(cos а + psin а).

Следовательно,

t = = J2l{g(sin a - pcos a) + a(cos a + psin a)}-1 ~ 0,8c.? Упражнение 9

Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы массами = 1,5 кг и т2 = 0,5 кг (рис. 4.12). Ось блока движется с ускорением а = 4 м/с2, направленным вниз. Найдите ускорения грузов относительно Земли.

В вагоне поезда, идущего со скоростью v = 72 км/ч по закруглению радиусом R = 400 м, производится взвешивание тела на пружинных весах. Определите показания весов, если масса тела т = 100 кг.

На экваторе планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Оп-ределите период Т вращения планеты вокруг своей оси, рассматри-вая ее как однородный шар со средней плотностью вещества р = 3000 кг/м3.

Металлическая цепочка длиной I = 0,5 м, концы которой соединены, насажена на деревянный диск (рис. 4.13). Диск вращается с частотой га = 60 об/с. Масса цепочки тп = 40 г. Определите силу натяжения Т цепочки.

Наклонная плоскость (рис. 4.14) с углом наклона а движется влево с ускорением а. При каком значении ускорения тело, лежащее на наклонной плоскости, начнет подниматься вдоль плоскости? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен (1.

Рис. 4.13

Рис. 4.12

В

Гладкая наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол а (рис. 4.15), движется вправо с ускорением а. На плоскости лежит брусок массой тп, удерживаемый нитью АВ. Найдите силу натяже-ния Т нити и силу давления Р бруска на плоскость.