2.5. Оперативное управление научными проектами
Аппарат дифференциальных уравнений и оптимального управления успешно используется для построения моделей развития науки и образования [76, 79]. В настоящей работе основной акцент делается на взаимосвязь различных научных направлений на уровне содержания их результатов, а не только на уровне ограничений ресурсного обеспечения.
Рассмотрим комплексное научное исследование, состоящее из n научных направлений.
Степень развития i-го направления оценивается в непрерывной шкале показателем xi е [0; 1], i е N = {1, 2, ..., n} - множеству научных направлений. Предположим, что заданы:вектор начальных состояний направлений x° е [0; 1], i е N;
законы динамики степеней развития: (1) Xi (t) = f(x(t), u(t)), i е N,
где x = (x1, x2, ..., xn) - вектор состояния научного исследования, ui(t) > 0 - зави-симость от времени ресурсного обеспечения i-го направления;
критерий G(x) степени развития научного исследования в целом. Относительно правых частей системы дифференциальных уравнений (1)
предположим, что V i е N, Vx е [0; 1]n V ыi > 0 выполнено: А.1. f(x, 0) = 0; А.2. f (x, ы) > 0;
А.3. ^ > о,j * i;
dxj
А.4. ^ > о;
дыг
А.5. ^ > о.
dxi
Содержательные интерпретации введенных предположений следующие. Первое предположение означает, что при отсутствии ресурсного обеспечения научное направление не развивается. Второе предположение отражает отсутствие «забывания» научных результатов. Третье предположение соответствует «комлексности» научного исследования - чем выше уровень развития соседних направлений, тем легче развиваться каждому отдельному направлению. Четвертое предположение гласит, что скорость развития научного направления растет с ростом ресурсного обеспечения. Пятое предположение означает, что чем выше степень развития каждого из научных направлений, тем выше степень развития комплексного научного исследования.
Рассмотрим фиксированный горизонт планирования (плановый период) T > 0 и предположим, что существует ограничение u е U на множество допус-тимых значений ресурсного обеспечения9 u = (u1, u2, ..., un).
Предположим, что цель управления научным исследованием заключается в максимизации степени его развития к концу планового периода выбором допустимого ресурсного обеспечения с учетом закона (1) динамики степеней развития:
G(x(T)) ® ты
ueU ,(1)
Можно сформулировать обратную задачу - достижения заданного уровня развития G0 научного исследования с минимальными затратами ресурсного обеспечения: если задан функционал затрат Q(u), то эта задача имеет вид
Q(u) ® min .
ueU ,(1),G( x )>G0
Если в качестве критерия эффективности принять время достижения заданного уровня развития G0 научного исследования, то получим задачу
T ® min .
ueU ,(1),G ( x (T ))>G0
В качестве критерия степени развития научного направления можно использовать приоритетный критерий:
G«(x) = Zax,
ie N
где a > 0, i е N - константы, такие, что Za = 1.
Тогда G: [0; 1]n ® [0; 1]. Вто-ie N
рой альтернативой является критерий равномерного развития, вычисляемый как
Gmin(x) = min {x.}.
ie N
Отметим, что критерий (5) отражает «приоритеты развития науки» - столь модное на сегодня выделение приоритетных направлений, введение системы грантов и т.д. Такой подход оправдан в случае независимых научных направлений на уровне опытно-конструкторских разработок. Для фундаментальных исследований представляется более адекватным критерий (6), так как в этом случае априори неизвестно, где случится «прорыв», и необходимо равномерно
9 тз
В зависимости от постановки задачи под компонентой данного вектора может пониматься либо текущее значение ресурсного обеспечения, либо траектория в целом.
развивать комплекс взаимообогащающих направлений. Поэтому в дальнейшем в настоящей работе будем использовать критерий (6).
Задачи (2)-(4) являются типовыми задачами оптимального управления (задача (4) - задача о быстродействии, (2) - задача терминального управления) и могут быть решены при известных функциях f(-), функционалах G(-) и Q(-), константе G0 и множестве U [16, 72]. Рассмотрим ряд частных случаев, позволяющих анализировать специфику комплексного развития научных исследований, в частности - взаимосвязь научных направлений.
Если научные направления не связаны, то, считая, что x° е (0; 1], i е N, и принимая логистический закон изменения уровня развития («внутренняя закономерность») [27, 85, 93], из (1) получим
х (t) = gi(ui(t)) Xi(t) (1 - Xi(t)), i е N.
Данная модель адекватна в случае, когда исследования начинаются практически «с нуля» и первое время уходит на обзор близких результатов и т.д.
Каждое из уравнений Бернулли, входящих в систему (7), может быть решено независимо:
Xi(t, Ui( •)) = ; X ; , ieN.
t j gi (Ui (X)) dx -j gi (Ui (X)) dx
(x0 jg,(U,(t))e0 dt + 1)e 0
0
Если ui(t) = Ui, i e N, то получим набор «независимых» логистических кривых (см. рисунок 2.10)
х 0
xi(t, Ui) = ^ —, i е N.
W iV' J х0 + (1 - x0)e-gi(Ui
