2.4. Стимулирование исполнителей научных проектов

Будет моделироваться исключительно процесс распределения нагрузки на НД. За рамками модели остается вопрос финансовой оплаты труда ППС и пола-

Сформулируем теоретико-игровую модель кафедры, с помощью которой можно решить задачу повышения результативности научной деятельности (НД) кафедры. За основу берется модель обмена в двухуровневой активной системе с конечным числом агентов на нижнем уровне и одним управляющим органом - центром - на верхнем уровне [96] - см. рисунок 2.8.

Рис. 2.8. Двухуровневая активная система

гается лишь, что в схеме оплаты труда ППС не учитывается, как именно распределяется нагрузка.

В модели используются следующие допущения:

Нагрузка преподавателя делится на два вида деятельности - учебную и научную.

Рассматривается только один, абстрактный, вид научной деятельности.

Эффективность учебной деятельности всех преподавателей одинаковая.

Данные допущения необходимы исключительно для наглядности рассмат-риваемой модели.

В системе происходит обмен между центром и агентами. Руководство кафедры (центр) выдает ППС кафедры (агентам) время, получая взамен от ППС результаты НД. Процесс взаимодействия между руководством кафедры и ППС кафедры можно представить в виде обмена, а саму систему - как обменную схему [67].

В терминах задачи стимулирования, являющейся частным случаем задачи обмена [67] взаимодействие между участниками системы имеет следующее содержание: центр стимулирует временем агентов за выполняемые ими действия (получаемые научные результаты). Однако в традиционной постановке задачи стимулирования агенты получают вознаграждение от центра после выполнения своих действий, а в рассматриваемой модели, центр сначала распределяет время между ППС, а затем преподаватели выбирают свои действия.

Поэтому возможно оппортунистическое поведение [94] со стороны ППС при котором выданное им время они могут использовать не по назначению.

Численность ППС обозначим n, состав кафедры - N = {1, 2, ..., n}. Результат НД каждого преподавателя i обозначим за уь и будем трактовать как количество авторских листов. В соответствии с терминологией теории активных систем, yi - действие, выбираемое i-м агентом (преподавателем).

Задача центра будет заключаться в перераспределении нагрузки на НД с целью максимизации общего результата НД кафедры. Поэтому целевую функцию центра можно записать в виде суммы результатов НД ППС кафедры:

(1) Ф=Z У.

ieN

Руководство кафедры осуществляет распределение нагрузки на НД путем определения плана НД для каждого преподавателя, который включает: время tl на осуществление НД преподавателем и результат НД деятельности yl, ожидаемый от преподавателя.

На возможности руководства кафедры по перераспределению нагрузки на НД накладываются следующие ограничения:

1.

Z tt =Z T,

N N

где T - нормативное время - время на осуществление НД преподавателем, определяемое нормативами от надсистемы.

2. Время, выделяемое каждому преподавателю на осуществление НД, может отличаться от нормативного времени в пределах, устанавливаемых надсис- темой:

tt е [(1 - a)T ;(1 + a)T ],

где a - параметр, определяющий отклонение от нормативного времени, устанавливаемый надсистемой.

Функцию полезности преподавателя можно записать в следующем виде: f = tt - ytr,, где rt - параметр, характеризующий персональную эффективность НД преподавателя, измеряемый в часах на авторский лист.

Чем выше значение данного параметра, тем больше времени тратит преподаватель на написание одного авторского листа, тем меньше эффективность его научной деятельности. Руководство кафедры должно назначать такие планы преподавателям, которые будут удовлетворять условию индивидуальной рациональности (ИР) - неотрицательности полезности каждого из агентов:

" f > 0.

Предположим, что ППС кафедры состоит из двух преподавателей - кандидата наук и доктора наук, параметры эффективности НД которых гдн и гкн соответственно, и точные значения обоих параметров известны руководству кафедры. В этом случае задача максимизации уровня НД кафедры формулируется следующим образом:

Удн + Укн > max .

J дн j кн Удн , Укн

Ограничения на время, выделяемое руководством кафедры преподавателям на НД, имеют следующий вид:

t н + t н = Тдн + Ткн

tдн е[(1 -а)Тдн ;(1 + а)Тдн ],

Чн е[(1 -а)Ткн ;(1 + а)Ткн ], где Тдн и Ткн - время, выделяемое на осуществление НД преподавателями соответствующих квалификаций в соответствии с требованиями надсистемы.

Условия индивидуальной рациональности в модели остаются прежними. Учитывая, что потенциальная эффективность научной деятельности докторов наук выше чем у кандидатов наук гдн < гкн, получаем, что решение задачи максимизации будет иметь следующее решение:

tдн=(1 + a)T, Удн=(1 + а)Тгдн'\ tm=(1 -a)T, ym=(1 -a)TrmA.

Можно оценить выигрыш центра от подобного перераспределения времени, выделяемого преподавателям на осуществление НД. Очевидно, что уровень НД кафедры при использовании базовых (нормативных) планов будет определяться выражением (гдн-1 + гкн-1) Т, а получаемый после перераспределения времени уровень НД кафедры будет определяться выражением ((1 + а) гдн'

1 + (1 -а) гкн'1) Т. При этом, увеличение уровня НД кафедры определяется выражением а (гдн-1 - гкн-1) Т.

Полученное решение легко распространяется на случай большего числа преподавателей. Пусть ППС состоит из n преподавателей, причем центру известны точные значения их эффективностей. Упорядочим ППС в порядке возрастания эффективности НД (т.е. убывания времени, необходимого на написа-ние одного авторского листа): r1 > .. > rn.

Тогда, в случае, если n - четно, весь ППС разделится на две равные группы. Всем преподавателям с номерами i < n /2 будет назначен план с минималь-но возможным временем для научной деятельности, с номерами i > n /2 - с максимально возможным:

ti =(1 - а) T,yt = (1 - а) Tгг-\ i = 1,n/2, ti = (1 + а) T, удн = (1 + а) T r,-\ l = n/2 +1,n.

Для нечетного n, назначаемые планы будут иметь следующий вид: U = (1 - а) T, yt = (1 - а) Trf1, l = 1,n/2 -1/2,

ti = T, yt = T ki\ i = n/2 + 1/2, ti = (1 + а) T, удн = (1 + а) Tri\ i = n/2 + 3/2,n.

Выигрыш руководства кафедры после перераспределения нагрузки на НД

n , [n/2] ,

определяется выражением АФ = аТ( ? гг гг ), где [n/2] - целая часть чис-

[n/2+1] 1

ла n/2.

Предположим, что руководству кафедры не известны точные значения эффективности НД каждого преподавателя кафедры. Для решения подобных задач в теории активных систем применяются механизмы с сообщением информации - механизмы планирования [96, 110].

Одной из основных проблем при построении механизмов планирования является их манипулируемость. Агенты могут манипулировать планами, назна-чаемыми им центром, сообщая ложную информацию о неизвестных параметрах, тем самым увеличивая свою полезность в ущерб полезности центра. Вместе с тем, существуют механизмы открытого управления [96], в которых доминантной стратегией [43] для каждого агента является сообщение правды

Одна из возможных постановок задачи перераспределения нагрузки между ППС кафедры в условиях неполной информированности руководства кафедры

об эффективности НД ППС кафедры имеет следующее содержание. Пусть центру известны:

диапазон возможных значений эффективности НД каждого из преподавателей "i = 1, n ri е [ r, r ], где r - самый лучший из возможных типов преподавателей, r - худший тип;

параметры вероятностного распределения p(r) (плотность распределения) эффективности на данном множестве.

Задача центра заключается в максимизации ожидаемого уровня НД при со-блюдении ограничений 2, 3 и 4:

Ф = E Z Уi > max,

Уь-Л '

ieN

где Е - оператор математического ожидания.

Центр предлагает агентам механизм планирования, при котором выделяемое для каждого преподавателя время и ожидаемый от него результат НД зависят от сообщений всех преподавателей о своей эффективности НД. Таким образом, план для i-го преподавателя, пг^)=[У^) t^s)] зависит от s = (s1, ..., sn), где st - оценка i-ым преподавателем своей эффективности НД. Механизм планирования n(s) = {^(s), ..., nn(s)} является механизмом открытого управления, если удовлетворяет условию совершенного согласования [96]:

"i = 1П, "Г- e[r,r], "s_i е[r,r]n-1, fi(r,S-.),r ) = mjax fi(p,r),

peXi (s-i)

где Xi(s-i) обозначает множество возможных планов НД для i-го преподавателя, при векторе заявок остальных преподавателей s-i.

Порядок функционирования системы при использовании механизмов планирования следующий:

руководство кафедры объявляет механизм планирования n(s);

преподаватели сообщают руководству кафедры оценки своей эффективности НД;

руководство кафедры назначает индивидуальные планы НД для каждого из преподавателей.

Из условий совершенного согласования определяется множество возможных механизмов, из которых выбирается один (или несколько), максимизирующий критерий эффективности [67]. Для нашей задачи механизмы открытого управления будут иметь следующий вид:

r

(7) ti(si, s-i) = У- (si, s-i)si + J У- (t s-i)dt.

si

r

Компонента J У, (t, s-i )dt называется информационной рентой [67] и опре-

si

деляет прибыль, получаемую преподавателем с типом s,. Чем выше тип (ниже

эффективность), тем меньше прибыль преподавателя. Преподаватель с типом r получает минимально возможную прибыль, не нарушающую условие индивидуальной рациональности, т.е. нулевую.

Доказано [67], что компоненты планов, назначаемых в механизме открытого управления преподавателю i, должны быть монотонны по его заявке. Кроме того, прибыль преподавателя растет с улучшением его эффективности и препо-

r

даватель с наилучшим типом r получает прибыль J yi (t s_i)dt.

r

Оптимальный механизм получается в результате решения задачи линейного программирования - максимизации уровня НД кафедры при выполнении ограничений 2 и 3.

Утверждение 5. Решение имеет следующий вид: Уровень эффективности НД преподавателя ti yt Низкая (i = 1, ~) t_ tr - 1 Высокая (i = ~ + 1, n ) t y 152. где:

r_

~ = J r р (r ) dr - математическое ожидание типа преподавателя,

r

«средний» тип;

n : "i < n, si < r - число преподавателей, заявки которых о своем типе выше, чем «средний» тип (эффективность НД ниже среднего); , n — n

t =(1 - min[l,—~—]a) T - время на НД, выделяемое преподавателям, чья n

заявленная эффективность ниже средней;

t =(1 + min[1, ~]«) T - время на НД, выделяемое преподавателям, чья n — n

заявленная эффективность выше средней.

Действие, ожидаемое от преподавателей, чья заявленная эффективность ниже средней определяется из выполнения условия индивидуальной рациональности для преподавателя наихудшего типа как равенства: t — yr = 0 .

Действие, ожидаемое от преподавателей, чья заявленная эффективность выше средней определяется следующим образом. План, назначаемый преподавателю с типом r~, должен быть для него не менее выгоден, чем план для преподавателей с низкой эффективностью: fn( r ), r ) = f(n(r), r ).

Из данного равенства определяется действие, ожидаемое от преподавателей с высокой эффективностью: J = tг 1 — t(г 1 — r *).

На рисунке 2.9 показано, что план, назначаемый для любой из двух групп преподавателей, лучше для всех преподавателей данной группы, чем план, назначаемый для другой группы. Рассмотрим трех преподавателей. Преподаватели 1 и 2 принадлежат к малоэффективной группе, а преподаватель 3 - к высокоэффективной группе. Т.е. r > г1 > г2 > г > г3 > r .

Лучи L обозначают уровни нулевой полезности для преподавателей соответствующего типа на плоскости (у, t). Любая точка плоскости, лежащая выше луча выгодна преподавателю (чем дальше она лежит от луча по оси t, тем больше ее полезность). Точки, лежащие ниже луча, не удовлетворяют условию индивидуальной рациональности для преподавателя. Чем выше эффективность преподавателя, тем меньше наклон его луча.

Луч L определяет уровень полезности для преподавателя с наименьшей

эффективностью, луч L - для преподавателя со «средним» типом, луч L + А иллюстрирует принцип определения плана для группы преподавателей с высокой эффективностью.

Рис. 2.9. Назначаемые планы и полезность преподавателей различного типа

План p для преподавателей с низкой эффективностью определяется пересечением L + А с L. План Р так же лежит на L + А. Легко видеть, что точка Р дает отрицательную полезность для преподавателя 1, менее выгодна для преподавателя 2, чем p и более выгодна для преподавателя 3 чем p. Из чего следует,

что в предложенном механизме для преподавателей оптимальной стратегией будет сообщение достоверной информации о своих типах.

Рисунок 2.9 также иллюстрирует другой вид полученного выше механизма. Руководство кафедры не спрашивает преподавателей об их типах, а сразу предлагает на выбор два плана научной деятельности - p и p. Как было показано выше, преподаватели с эффективностью, ниже средней, предпочтут план p, а преподаватели с эффективностью, выше средней - план p. Следует отметить, что точное положение точек p и p зависит от количества преподавателей в каждой из групп.

Эффективность механизма можно оценить, сравнив ожидаемый результат научной деятельности с максимальным гарантированным результатом

_1 n 1 n n

фMGR = nTr : DF = T[(n _~)((1 + min[1, ~]a)~_ _r )_~min[1, ]a].

n _ n n