§9.11. УРАВНЕНИЕ ВЕРНУЛ Л И

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Д. Бернулли в 1738 г.

Наиболее просто уравнение Бернулли можно вывести, если применить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости.

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сече-

ниєм АВ в широкой части трубы и сечением CD в узкой части (рис. 9.41).

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны Sv pv vv а в узкой части — S2, р2, v2.

Если жидкость течет слева направо, то под действием сил давления Рис. 9.41 f! и И силы тяжести выделенный

объем жидкости за малое время At сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями A,B, и CjDj. Силы давления F, и F2 совершат работу

А = А, + А2 = FJ, - F2l2= pySyVyAt - p2S2v2At.

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями A,B, и CD (изображен на рисунке 9.41 двойной штриховкой), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем ABB,AV переместилась бы и заняла объем CDDyCy Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области ABBXAX в область CDDxCy Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем AV не изменяется вследствие несжимаемости жидкости. Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

АЕ = AEk + АЕр=\ pAV(v\ - v\ ) + рg(S2l2h2 - S^hJ.

Учитывая, что АЕ =А, получим:

і pAV(vl - v\ ) + pg(AVh2 - AVhr) = p^i^Af - p2S2v2At.

Так как SjUjAf = S2v2At = AV, то после сокращения на AV находим:

|рі>2 - \ pv\ +pgh2~pgh1=p1-p2.

Откуда 2

Pv2

2

PU1

рг + pghJ + -2-=p2 + pgh2 + Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

2

г> Ри 1

В этом уравнении — плотность кинетическои энергии,

а рgh — плотность потенциальной энергии. Согласно уравнению Бернулли сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

Если труба горизонтальна, то hx = h2 и уравнение принимает вид

2 2

(9.11.2)

Уравнение (9.11.2) показывает, что с увеличением скорости течения (и2 > давление в жидкости, текущей по горизон-тальной трубе, уменьшается (р2 < р^). Это подтверждается опытом, который был нами рассмотрен в предыдущем параграфе.

Уравнение Бернулли описывает наиболее простой случай течения жидкости: течение стационарно, а вязкостью и сжимаемостью жидкости можно пренебречь.