1. Линейные уравнения.

1. Уравнение первой степени вида , называется линейным уравнением. Где - переменные, числа и стоящие перед переменными называются коэффициентами, а и - свободные члены.

(1)

Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида

(2)

Пусть , а , тогда уравнение (2) будет иметь вид

(3)

Примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения , а свободные члены в правую часть, получим

Используя уравнение (3) получим

Ответ:

2) Решить уравнение

Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член – 4.

Отсюда

Ответ:

3) Решить уравнение

В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к. , тогда

Отсюда

Ответ:

4)

Используя объяснения к уравнению 2), получим

Отсюда

Ответ:

5)

Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим

Отсюда

Ответ:

4

2. Пусть дано линейное уравнение вида

(4)

В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член .

Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим

(5)

Отсюда

Если , то

Решение уравнения (4) можно записать в виде системы

(6)

Пример. Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член в правую часть со знаком «минус», тогда

Отсюда

Ответ:

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

(7)

Для решения уравнения (7) выразим переменную через переменную , т.е. получим уравнение вида

(8)

Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение . Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.

Пример. Решить уравнение

Воспользуемся формулой (8), тогда

Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при

, получим

Ответ: