1. Линейные уравнения.
1. Уравнение первой степени вида 
, называется линейным уравнением. Где 
- переменные, числа 
и 
стоящие перед переменными называются коэффициентами, а 
и 
- свободные члены.
(1)
Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида
(2)
Пусть 
, а 
, тогда уравнение (2) будет иметь вид
(3)
Примеры.
1) Решить уравнение 
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения , а свободные члены в правую часть, получим
Используя уравнение (3) получим
Ответ: 
2) Решить уравнение 
Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член – 4.
Но, перенося его в правую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим
, тогда 
Отсюда
Ответ: 
3) Решить уравнение 
В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к. 
, тогда
Отсюда
Ответ: 
4) 
Используя объяснения к уравнению 2), получим
Отсюда
Ответ: 
5) 
Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим
Отсюда
Ответ: 
4
2. Пусть дано линейное уравнение вида
(4)
В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член .
Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим
(5)
Отсюда
Если 
, то 
Решение уравнения (4) можно записать в виде системы
(6)
Пример. Решить уравнение 
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член 
в правую часть со знаком «минус», тогда
Отсюда
Ответ: 
3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:
(7)
Для решения уравнения (7) выразим переменную 
через переменную , т.е. получим уравнение вида
(8)
Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение . Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.
Пример. Решить уравнение 
Воспользуемся формулой (8), тогда
Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при
, получим
Ответ: 
Еще по теме 1. Линейные уравнения.:
- 4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
- Линейные дифференциальные уравнения
- Линейные уравнения.
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- Системы линейных уравнений.
- Понятие системы линейных уравнений.
- 1.2. Линейные уравнения и неравенства
- 26. Метод сведения линейной системы к одному уравнению.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- 14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Решение произвольных систем линейных уравнений.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.