НОРМАЛЬНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СВНТ называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами m Î R и s > 0, если ПР задается формулой:
f(x) = 
-¥ < x < +¥.
Тогда ПР f(x) и ФР F(x) такой СВ имеют следующий вид:
Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, s), т.е. Х ~ N(m, s). Параметры m и s совпадают с основными характеристиками распределения: m = mX, s = sХ = 
. Если СВ Х ~ N(0, 1), то она называется стандартизованной нормальной величиной. ФР стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x). С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, s):
P(x1 £ X < x2) = Ф
- Ф
.
При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х), то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.
Таблица 1.
Значения функции Лапласа Ф(х) = 
| x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
| 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 | 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 | 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 | 0,6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 | 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 | 0,7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 | 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 095 0,96 0,97 0,98 0,99 | 0,8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 | 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 | 0,8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 | 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 | 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 |
| 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 | 0,5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 | 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 | 0,6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 | 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 | 0,7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 | 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 | 0,8413 8437 8461 8485 8508 6531 8554 8577 8599 8621 | 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 | 0,9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 | 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 | 0,9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 |
| 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 | 0,5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 | 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 | 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 | 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 | 0,7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8133 | 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 | 0,8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 | 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 | 0,9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 | 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 | 0,9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 |
Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P( |X - mX| < e ) = 2?Ф(e/s) - 1.
Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: mn+2 = (n+1)s2mn, n = 1, 2, ...
. Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как m1 = 0).Задача №2. Пусть Х ~ N(0, 1). Построить ФР и ПР. Найти Mo(X), Mе(X), A, E.