Интегрирование выражений с радикалами

При нахождении интегралов от функций, содержащих радикалы, следует подбирать такую подстановку, чтобы в результате ее подынтегральная функция оказалась рациональной.

Например, если интеграл содержит , можно сделать замену переменных , для функций, содержащих или годятся соответственно , причем в двух последних случаях получатся интегралы от тригонометрических функций, в которых в свою очередь придется произвести подходящие замены переменных.

Пример 3. Найти .

Подходящей подстановкой здесь будет , т.к. при такой подстановке исчезнут оба радикала. Тогда получим:

Задача свелась к интегрированию рациональной дроби.

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

.

В различных справочниках приводятся таблицы, в которых содержится большое количество неопределенных интегралов, как выражающихся, так и не выражающихся через элементарные функции.