<<

23. Линейные однородные ур-я 2го порядка с постоян-ми коэф

y''+a1y+a2y=f(x) (5), a1, a2-const. Введем в рассмотр-ие ф-ю y=erx , тогда y'=rerx , y=r2erx.

Подставим в ур-е (5):r2er x+a1rer x+a2er x=0, erx(r2+a1r+a2)=0, erx≠ 0. Чтобы ф-я erх являлась реш-ем ур-я (5) надо чтобы r2+a1r+a2=0 (6). Ур-е (6) явл характеристическим ур-м ур-я (5), чтобы составить характеристическое ур-е нужно заменить у на 1, у'=r, y''=r2. В зависимости от того какие корни будут в ур-ии (6) будет выглядеть общее реш-е ур-я (5). Д/корней ур-я (6) возможны 3 случая: 1) r1≠ r2, r1,r2 R (D>0). Имеем 2 частных реш-я: er1x, er2x и =>согласно теор, общее реш-е будет иметь вид у=C1er1x+C2er2x, 2) r1=r2, r2,r1 R(D=0)имеем только1 решение.Покажем,что в качестве 2 реш-я можно взять y1=er1x,y2=xer1x, y2=er1x+xr1er1x, y2=r1er1x+r1er1x+xr12er1; r1er1x+r1er1x+xr12er1+a1er1 x+a1xr1er1 x+a2xer1 x=er1 x(2r1+a1+x(r12+a1r1+a2))=0 при 2r1+a1=0,т.к r1-двукратный корень ур-я r2+a1r+a2=0,то r1+r2=-a1, 2r1=-a1

Т.о. имея 2 линейно независимых частных реш-я можем записать общее реш-е однородного ур-ия. yобщ=С1еr2 x+C2xer1 x, 3)r1 и r2 (D(***):

. Положим , тогда .

Продифференцируем еще раз: и подставим в уравнение (*):

Получаем 2 соотношение дляи.Т.о. получаем систему для опред-ия и:

Из этой системы мы определим и , а затем интегрированием этих функций находим сами функции и .

<< |
Источник: Неизвестный. Экзамен по высшей математике. 2 семестр. 2015

Еще по теме 23. Линейные однородные ур-я 2го порядка с постоян-ми коэф:

  1. 23. Линейные однородные ур-я 2го порядка с постоян-ми коэф