<<
>>

Уравнение колебаний струны.

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т.

Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

u

C

B a

A

D

0 a x x+Dx b x

На произвольный элемент длины нити (х, х + Dх) действуют две силы натяжения

и . При этом:

Если считать колебания малыми, то можно принять:

Тогда проекция силы на ось u:

Проекция силы на ось u:

Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

где r – плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

Или

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

и краевых условиях

.

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции f(x) и F(x) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Уравнение колебаний струны.:

  1. Нерелятивистская волновая механика Эрвина Шрёдингера.
  2. Содержание дисциплины
  3. Классификация основных типов уравнений математической физики.
  4. Уравнение колебаний струны.
  5. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
  6. Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)
  7. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. Оглавление Предисловие
  10. 1. Введение
  11. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  12. 2. Задачи на собственные значения
  13. 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
  14. 3. Применение интегральных преобразований в задачах теории колебаний
  15. 16. Задача Штурма-Лиувилля.
  16. 17) Метод Фурье решения начально-краевых задач для однородного волнового уравнения (уравнение теплопроводности) с однородными краевыми условиями.
  17. 22. Решение задачи о свободных колебаниях бесконечной струны. Формула Деламбера.
  18. Некоторые сведения о совокупности решений уравнений с частными производными
  19. Вывод уравнения колебаний струны